非线性动力系统中混沌边缘的景观计算

Landscape computations for the edge of chaos in nonlinear dynamical systems

非线性动力系统中混沌边缘的景观计算

https://arxiv.org/pdf/2503.06393

摘要

我们提出一种基于随机采样的方法，用于识别一般动力系统中的稳定性边界。通过在多维参数空间中构建李雅普诺夫指数的全局景观，可以揭示稳定与不稳定轨迹之间的过渡边界，即“混沌边缘”。尽管这一方法具有重要价值，但通常难以通过解析方法获得。在本研究中，我们结合马尔可夫链蒙特卡洛算法与非线性微分/差分方程的数值积分，成功揭示了这些过渡边界。结果表明，对混沌边缘附近参数子空间进行后验建模，可确定一个内在的受约束动力系统，从而灵活地激活或抑制混沌轨迹。

1. 引言

在湍流或多体系统中出现的具有大量自由度的动力系统，通常彼此耦合，并包含多个物理或控制参数，这些参数通过非线性机制决定轨迹的稳定性。

例如，用于描述湍流对流中低维但关键动力学的洛伦兹系统[1]被广泛认知，其三个物理参数决定了系统轨迹向混沌或稳定周期状态的分岔。另一个极端的例子是神经网络系统。在生物神经网络中[2, 3, 4]，神经元的非线性放电或不放电动态由强耦合的微分或差分方程描述，每个神经元包含多个物理参数。而在人工神经网络中[5, 6]，通过对输入数据进行线性加权叠加并引入非线性激活函数，可通过优化网络参数以最小化训练和验证损失，从而实现高性能的学习。

在上述两种情况下，轨迹对各个参数的依赖关系往往十分复杂。识别多维参数空间中某个关键量的全局结构，有助于理解和提取一大类非线性动力系统中的本质特征。事实上，自由能泛函的二维景观已在蛋白质折叠的分子动力学研究中发挥了重要作用[7]。尽管此类景观具有重要价值，但从控制方程出发推导关键量景观的解析表达式通常十分困难。

本文提出一种耦合计算方法，用于识别与所关注的非线性动力系统相关的泛函的全局景观。我们以一维混沌神经元模型作为典型示例，利用复制交换马尔可夫链蒙特卡洛（Replica Exchange Markov Chain Monte Carlo, MCMC）采样方法[8, 9]，揭示了李雅普诺夫稳定性景观，用以刻画稳定的周期轨迹与不稳定的混沌轨迹。此外，还展示了对混沌边缘进行后验建模，可导出一个内在的受约束动力系统，从而激活混沌轨迹。

1. 动力方程积分与随机采样的直接耦合

本节介绍一种用于寻找与动力方程相关联的全局景观的计算方法。该方法将动力方程的数值积分与基于随机采样的相关泛函的数值探索直接耦合起来。

2.1 耦合计算的形式框架

此处，我们形式化地描述一个关于场函数 f(t, x) 的非线性动力方程如下：

从物理（甚至数学）角度来看，有价值的信息不仅在于单个极值本身，还包括极值的分布及其周围的地形结构，因为这些信息包含了可实现解的稳定性与鲁棒性特征。为此，我们构建一种耦合计算方法，通过将动力学方程的数值积分与马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样[8]相结合，来识别 L[f(·); θ] 的全局景观，如下文所示。

2.2 作为代表的非线性动力系统 作为一个具有多个参数的典型动力系统，我们在此考虑一个一维方程，用于描述单个生物神经元的放电活动[5, 6]，即：

图1展示了关于参数a的典型分岔图，其中其余三个参数保持固定。在λ > 0的子区域中，可以观察到ξ(t)的混沌或不稳定轨迹。李雅普诺夫指数λ即使在如此简单的动力系统中也呈现出复杂的结构，而通过优化算法往往难以准确识别局部极值的分布及零值边界。因此，直接结合随机采样算法具有重要意义。

2.3 用于耦合的复制交换MCMC采样 我们采用基于马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法的随机采样方法，作为对泛函L[f(·); θ]景观的数值全局搜索，该景观是通过对动力学方程积分后得到的轨迹f的泛函所决定的。下一节将讨论李雅普诺夫稳定性景观，即L[ξ(t); (a, k, α, ε)] = λ。此处我们简要概述本研究中所使用的复制交换MCMC（简称为RXMC）算法。

设T(x₁, x₂)是一个具有多模态和稀疏特征的二维试探函数：

其中 (l₁, l₂, l₃, l₄, l₅) = (0.15, 10, 3, 2, 10)，T(x₁, x₂) 的等高线图如图2(a)所示。MCMC算法通过利用马尔可夫链对多模态函数进行采样，该马尔可夫链是一组具有马尔可夫性质的离散随机变量Xₜ（对应于参数θ），其满足条件概率关系：P[Xₜ₊₁ | Xₜ, Xₜ₋₁, Xₜ₋₂, ⋯, X₁] = P[Xₜ₊₁ | Xₜ]。采用Metropolis算法确定每一步蒙特卡洛模拟的接受概率，即 Raccept = min{1, P[Xₜ₊₁]/P[Xₜ]}，从而获得作为目标采样平稳概率分布P的直方图和期望值。在RXMC中，引入了一个附加参数βⱼ，称为温度参数，相应的平稳概率分布族定义为：

其中，整数 j 代表各个复制体（replica）的索引，Z(βⱼ) 是每个 βⱼ 复制体的归一化因子，使得 ∫ dθ P(θ|βⱼ) = 1。不同复制体中的两个随机变量会按照与 βⱼ 相关的周期进行相互交换。关于 RXMC 算法的更多细节，可参见例如文献 [9]。

图2比较了在均匀网格搜索和RXMC算法下对试探函数 T(x₁, x₂) 的采样结果。可以看出，RXMC 方法仅在峰值附近高效地对试探函数进行了采样。此外，当采样区域被限制为更窄范围时，精细尺度的多模态峰值结构也能被有效恢复。

1. 景观计算

在这里，我们展示了上述直接耦合计算的有效性，其中混沌神经元模型在方程 (2) 和 (3) 中的数值积分与 RXMC 采样算法相结合。然后，在四维参数空间中计算全局李雅普诺夫稳定性景观 L[f(⋅);θ]=λ(a,k,α,ϵ)。我们为当前的耦合计算设置了每个复制体（replica）100000 步的蒙特卡洛步长，并使用了 10 个复制体。在每个复制体中，对 (a,k,α,ϵ)空间中的每个点进行 ξ(t)的数值积分和采样，这些操作以并行计算的方式执行，并且在每 50 步蒙特卡洛步长的周期内评估交换概率。

图 3(a) 显示了李雅普诺夫指数 λ⩾0的非负部分的三维景观，其中为了可视化，固定 α=1.2。作为对比，采用 2003网格搜索算法的结果显示在图 3(b) 中。可以发现，当前与 RXMC 耦合的计算方法很好地捕捉了 λ的全局和局部结构，同时也准确地识别了由 λ=0给出的“混沌边缘”。需要注意的是，均匀网格搜索会冗余地扫描整个 (a,k,ϵ)矩形区域，而与 RXMC 耦合的计算仅扫描有限的 λ⩾0区域（图中彩色区域）。我们还强调，即使在函数不可微的情况下，当前方法仍然有效，而基于梯度的优化算法无法处理这种情况。

1. 混沌边缘的后验建模

一旦获得了所关注的非线性动力系统的李雅普诺夫稳定性景观，就可以构建一个内在的受约束动力系统，从而灵活地激活或抑制混沌轨迹。在本节中，我们通过在景观中对混沌边缘进行后验建模，简要展示这一过程。

为了简化起见，我们考虑 ϵ=0.036时的二维子空间 (a,k)，图 4 显示了 λ的等高线图。然后，可以沿着图中所示的黑色实线（混沌边缘）构造一条任意近似曲线 g，其解析表达式为：

其中参数 a已从动力学方程中消除。图 5(a) 和图 5(b) 分别比较了标准情况下（使用方程 (2)）与受约束情况下（使用方程 (8)）的分岔图。可以看出，正如方程 (7) 中的约束所预期的那样，方程 (8) 中的混沌轨迹在参数 k的几乎所有区域内都被激活。值得注意的是，如果稍微修改约束条件以偏离“混沌边缘”，也可以灵活地将混沌轨迹抑制为稳定的周期行为。

1. 总结

本文提出了一种直接耦合计算方法，将动力学方程的数值积分与马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样相结合。作为一个典型应用，利用复制交换MCMC算法识别了与混沌神经元模型相关的多维李雅普诺夫稳定性景观，从而高效地扫描了李雅普诺夫指数的全局分布。

我们还展示了，通过对景观上混沌边缘附近的参数子空间进行后验建模，可以构建一个内在的受约束动力系统，从而激活或抑制混沌轨迹。本文提出的基本方法也适用于更广泛的动力系统，即使在泛函不可微的情况下同样有效。

本文主要聚焦于一维动力系统，以清晰表达其概念性视角。对于更高维的情形，例如流体和等离子体湍流中的图形成[11, 12]、耦合非线性振子、神经网络等，将在未来的工作中进一步研究。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2503.06393