问:快速傅立叶变换输出的cos和正弦波的振幅之间的数学关系是什么？

Question

我已经使用自定义的FFT实现分解了一些时间序列数据。通过设计，我的FFT实现提供了一组cos和正弦波，然后我可以将它们相加，以重新生成原始信号。这工作得很好，没有问题，所以我知道提取的正弦波和cos波在振幅、周期和相位方面是正确的。

我使用的数据有1024个样本，它给出了512个cos波和512个正弦波的属性(例如，每个波的振幅、相位和周期数据)。

为了节省数据存储，我试图找到/理解波的振幅之间的数学关系。而不是必须保存每个正弦和cos波的每个振幅，我想简单地保存一些系数，我可以用来在代码中重建振幅。

FFT Sine Waves with Amplitudes

从上图可以看出，有一组功率曲线系数大致符合振幅数据，但对于我的用例来说，这是不够准确的。

由于我有所有的源数据以及每个波的生成属性，在执行完FFT之后，是否有可以使用的简单公式或可以执行的转换来生成代码中的振幅？我知道振幅与实值和虚值有关，但是由于空间要求，我不能存储所有的实值和虚值。

作为我如何将这个问题保存到周期数据的示例，我发现每个波的周期是简单的Math.Power(waveIndex，-1)。因此，对于波形周期，我不需要存储数据，只需在代码中重新生成即可。

我目前找不到正弦波中振幅之间的关系，甚至找不到cos和正弦振幅之间的关系，但是FFT背后的理论和数学超出了我的能力范围，所以我希望有一个简单的公式或概念可以实现。

在回复之后，我添加了下面的代码，用于获取正弦和cos波值，此代码片段可能会帮助那些回复。

internal void GetSineAndCosWavesBasic(double[] outReal, double[] outImag, int numWaves, out double[,] sineValues, out double[,] cosValues)
    {
        // the real and imag values from Cooley-Tukey decimation-in-time radix-2 FFT are passed in
        // and we want to generate the cos and sine values for each sample  for each wave

        var length = outReal.Length;
        var lengthDouble = (double)length;
        var halfLength = lengthDouble / 2.0;

        sineValues = new double[numWaves, length];
        cosValues = new double[numWaves, length];

        var Pi2 = 2 * Math.PI;

        for (var waveIdx = 0; waveIdx < numWaves; waveIdx++)
        {
            for (var sampleIdx = 0; sampleIdx < length; sampleIdx++)
            {
                // first value case and middle value case
                var reX = outReal[waveIdx] / halfLength;
                if (sampleIdx == 0)
                {
                    reX = outReal[waveIdx] / lengthDouble;
                }
                else if (sampleIdx == halfLength)
                {
                    reX = outReal[waveIdx] / lengthDouble;
                }

                // precompute the value that gets sine/cos applied 
                var tmp = (Pi2 * waveIdx * sampleIdx) / lengthDouble;

                // get the instant cos and sine values
                var valueCos = Math.Cos(tmp) * reX;
                var valueSin = Math.Sin(tmp) * (-outImag[waveIdx] / halfLength);

                // update the sine and cos values for this wave for this sample
                cosValues[waveIdx, sampleIdx] = valueCos;
                sineValues[waveIdx, sampleIdx] = valueSin;
            }
        }
    }

下面是我如何获得幅值和相位值的，尽管我目前没有在任何地方使用它们。

    internal void CalculateMagAndPhaseBasic(double[] outReal, double[] outImag, out double[] mag, out double[] phase)
    {
        // the real and imag values from Cooley-Tukey decimation-in-time radix-2 FFT are passed in
        // and we want to generate the magnitude and phase values

        var length = outReal.Length;

        mag = new double[(length / 2) +1];
        phase = new double[(length / 2) + 1];

        for (var i = 0; i <= length / 2; i++)
        {
            mag[i] = Math.Pow((outReal[i] * outReal[i]) + (outImag[i] * outImag[i]), 0.5);
            phase[i] = Math.Atan2(outImag[i], outReal[i]);
        }
    }

Answer 1

实际上，快速傅立叶变换只返回复系数S(w)=a+jb

对于N点快速傅立叶变换，abs(S(w)) * 2/N将是(接近)频率为w的正弦分量的幅度。

这假设正弦分量的频率接近fft bin的中心，否则功率将在两个相邻bin之间“分割”。

你感兴趣的频率是通过所有的fft窗口呈现的。

Answer 2

FFT的输出与输入具有相同的自由度。没有简单的公式(除了FFT本身)可以将FFT结果彼此关联，因为如果任何FFT输入发生变化，所有FFT输出都会发生变化。

每个FFT复数bin结果的正弦和余弦之间的关系与该频率( bin中心)的正弦输入分量的相位有关，相对于起始和结束循环。如果相位改变，正弦和余弦分量也会改变。请参阅: atan2()