渲染方程- brdf / pdf > 1？

Question

我正在创建一个路径追踪器，在计算光的强度时得到了一些奇怪的结果。

我使用的是一个由这个图表启发的渲染方程：

1. 当我使用余弦时，一切都变得非常黑暗，我的球体边缘几乎是黑色的。这是合理的，因为我几乎乘以cos(PI/2) = 0。我读到它应该用一些东西来抵消，所以我删除了它，这是有帮助的。但是它用什么来抵消呢？
2. 我使用Lambertian漫反射BRDF，这意味着方程的"Fr“部分应该是”反照率/ PI“。我也在做均匀的半球取样，这给了我一个PDF 1/ PI。现在，当我计算BRDF / PDF时，我得到了"2 *反照率“。这似乎不对。这意味着，我越多地反弹，光的影响就越大，这是无稽之谈。第三次反弹的光线比第一次反弹时的光线要暗一些。我在哪里犯了个错误？

编辑1:我包括了伪代码。余弦是点积。在布恩之后，有一些东西我没有包括在内，因为它们对方程没有贡献。

<!-- language: lang-cpp -->
//Initialization
Ray ray;
float3 passthrought = (1,1,1);
float3 color = (0,0,0);

//Bouncing
for(int I = 0; i < 4; i++){
    Object obj = ray.intersect(...);

    color += obj.emission * passthrought;

    float3 newDirection = sample_hemisphere();
    float pdf = 1 / (2 * PI);
    float3 brdf = obj.color / PI; 

    if(pdf > EPSILON)
        passthrought *= dot(normal, newDirection) * brdf / pdf;
    else
        passthrought *= 0;

    //Prepare new bounce
    ray.origin = ray.direction * ray.distance + ray.origin;
    ray.direction = newDirection;
}


float3 sample_hemisphere(){
    //Tranformation to world space
    float3 w = ray->worldNormal;
    float3 axis = fabs(w.x) > 0.1f ? (float3)(0.0f, 1.0f, 0.0f) : (float3)(1.0f, 0.0f, 0.0f);
    float3 u = normalize(cross(axis, w));
    float3 v = cross(w, u);

    //Sampling from 2 random variables <0, 1>
    float e1 = rand();
    float e2 = rand();

    float s = sqrt(1.0 - e1 * e1);
    float phi = 2 * M_PI_F * e2;

    return normalize(u * cos(2 * M_PI_F * e2) * s + v * sin(2 * M_PI_F * e2) * s + w * e1);
}

编辑2:我只想在两个变体中加入一个呈现示例，不知怎么的，它现在起作用了。物体周围的黑色边框消失了。我想我得用正常的余弦和光线来计算，这是错误的。无论如何，我包括2渲染一个与一个余弦的正常和外向射线和一个没有它。请记住，白点设置为最大亮度的Reinhard色调映射和1/2.2的伽马校正是适用的。其中哪一个更正确？

用余弦：

没有余弦(因为它有大约10倍的样本)：

Answer 1

当我使用余弦时，一切都变得非常黑暗，我的球体边缘几乎是黑色的。这是合理的，因为我几乎乘以cos(PI/2) = 0。我读到它应该用一些东西来抵消，所以我删除了它，这是有帮助的。但是它用什么来抵消呢？

这个余弦有几何意义，保留它，或者如果你去掉它，一定要有数学上的理由去做。掠角对地表的辐射分布较小，在90°时，接收到的辐射为零。

我使用Lambertian漫反射BRDF，这意味着方程的"Fr“部分应该是”反照率/ PI“。我也在做均匀的半球取样，这给了我一个PDF 1/ PI。现在，当我计算BRDF / PDF时，我得到了"2 *反照率“。这似乎不对。这意味着，我越多地反弹，光的影响就越大，这是无稽之谈。第三次反弹的光线比第一次反弹时的光线要暗一些。我在哪里犯了个错误？

概率密度函数p，按其定义，在整个定义集上必须有一个1的积分，因此在半球上。如果你算算的话，你会得到：

\int_\Omega p \, \text{d}\Omega = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} p \, \sin \theta \, \text{d}\theta \, \text{d}\phi = 2\pi \Rightarrow p = \frac{1}{2\pi}

采样您的PDF将给您提供\theta = \arccos \xi_1 ，\phi = 2\pi \xi_2，其中\xi_1, \xi_2是0到1之间的独立随机实数。采样PDF并不总是那么容易，它本身就是另一个主题，但是要了解更多细节，您可以阅读这个优秀PBR摘录。

但正如你所看到的，你可以做得更好:渲染方程中的余弦项从一开始就困扰着你，它告诉你，你应该倾向于这个词最大的方向。所以让我们选择一个pdf，这样

p = \alpha \cos \theta_i

如果您想知道\alpha的值，您必须记住，pdf的积分必须等于1。如果你算一下，这会给你p = \frac{\cos \theta_i}{\pi}。

使用PBR中显示的方法对这个新的PDF进行采样，您将得到\theta = \arccos \sqrt{\xi_1}，\phi = 2\pi \xi_2。

现在，也只是现在，您可以注意到，呈现方程的余弦简化了PDF中的一个。然后你可以移除它们。