Matlab中IFFT的标度问题

Question

我正在研究Matlab中的IFFT，把它应用到高斯系统中。根据维基百科表，傅里叶变换对将是

F(w) = sqrt(pi/a) * exp(-w^2/(4a))

在频率，和

f(t) = exp(-at^2)

及时。我修改了前一个问题 + Cris的答案中的代码来执行这个IFFT。

a = 0.333;

ts = 1e4; % time sampling
L = 1000*ts; % no. sample points
ds = 1/ts;
f = -floor(L/2):floor((L-1)/2); % freq vector
f = f/ts;

w = 2*pi*f; % angular freq
Y = sqrt(pi/a)*exp(-w.^2/(4*a));

y = ts*ifftshift(ifft(fftshift(Y)));

t = (-L/2:L/2-1)*ts/L; % time vector

f = exp(-a*t.^2); % analytical solution

figure; subplot(1,2,1); hold on
plot(t,real(y),'.--')
plot(t,real(f),'-')
xlabel('time, t')
title('real')
legend('numerical','analytic')
xlim([-5,5])
subplot(1,2,2); hold on
plot(w,imag(y),'.--')
plot(w,imag(f),'-')
xlabel('time, t')
title('imag')
legend('numerical','analytic')
xlim([-5,5])

当我将IFFT的结果与解析表达式进行比较时，他们似乎并不同意：

​

​

我不知道哪里出了错。我对IFFT进行了适当的调整吗？我如何定义线性/角频率有错误吗？

编辑:由于某种原因，当我定义L=ts^2时，解析解和数值解似乎是一致的(L = no。采样点，ts =时间样本)。

Answer 1

从分析性的解决方案开始，让我们重新表述一下事情。您有一个函数f(t) = exp(-a*t^2)的抽样，以及构建解析答案的方式，您正在以Ts=ts/L=1e-3的抽样率收集L=1000*ts=1e7样本。这意味着你的采样频率是Fs=1/Ts=1e3。

由于您希望与fft/ifft的结果进行比较，所以您应该考虑数字频率或离散频率，这意味着您为转换定义的值将与数字频率相对应。

frd = (-L/2:L/2-1)/L;

把它映射到角度频率，我们有：

w = 2*pi*frd;

但是当你试图计算这些值时，你也需要记住，这些频率应该代表你所期望的连续时间谱的样本。因此，您可以根据采样频率来缩放这些值：

Y = sqrt(pi/a)*exp(-(Fs*w).^2/(4*a));
y = Fs*ifftshift(ifft(fftshift(Y)));

当您比较分析和计算的答案时，它们现在是匹配的。

考虑到这一点，对您问题的简短回答是，您在最后不正确地缩放y。你用ts来缩放它，也就是1e4，但是你需要用采样频率( Fs=1e3 )来缩放它。这就是为什么你会以10倍的速度结束。