“扩展”IFFT

Question

如果我有一个波形x，如

x = [math.sin(W*t + Ph) for t in range(16)]

用任意W和Ph计算其(实) FFT f

f = numpy.fft.rfft(x)

我可以获得原始的x

numpy.fft.irfft(f)

现在，如果我需要将恢复的波形的范围扩大到左边和右边的几个样本，该怎么办？即波形y，使得len(y) == 48、y[16:32] == x和y[0:16], y[32:48]是原始波形的周期扩展。

换句话说，如果FFT的输入是一个在f(t)上采样的无限函数f(t)，那么如何恢复 t<0 和 t>=N**?**的值？

注：我使用了一个完美的正弦波作为例子，但实际上x可以是任何东西:任意信号，比如x = range(16)或x = np.random.rand(16)，或者从随机.wav文件中提取的任意长度的片段。

Answer 1

现在，如果我需要将恢复的波形的范围扩大到左边和右边的几个样本，该怎么办？也就是说，连(Y) == 48，y16:32 == x和y0:16，y32:48的波形y是原始波形的周期扩展。

周期扩张也就是x，因为它是周期扩张。

换句话说，如果FFT假设它的输入是在t= 0，1上采样的无限函数f(t)，.N-1，如何恢复t<0和t>=N的f(t)值？

“N点FFT”假设你的信号是周期性的，周期为N，这是因为你的块分解成的所有谐波基函数都是周期性的，就像先前的N个样本和接续的N个样本只是主要N样本的副本一样。

如果允许W的任何值，则输入正弦波不会是周期性的N，但这并不能阻止FFT函数将其分解为多个周期正弦的和。周期为N的周期正弦波之和也具有N的周期性。

很明显，你必须重新考虑这个问题。

也许你可以利用线性预测。根据片段的加窗自相关和莱文森-杜宾递推计算几个线性预测系数，并利用这些预测系数进行外推。然而，对于一个稳定的预测滤波器，预测将收敛到零，收敛速度取决于你有什么样的信号。例如，白噪声的理想线性预测系数都为零。在这种情况下，您可以将零“外推”到左边和右边。但你对此无能为力。如果你有白噪声，在你的片段中没有关于周围样本的信息，因为所有的样本都是独立的(这就是白噪声的意义)。

这种线性预测实际上能够很好地预测正弦样本。因此，如果您的输入是sin(W*t+p)，对于任意的W和p，则只需要二阶线性预测。对于更复杂的信号，我建议排序为10或16。

Answer 2

下面的例子应该会给您一个关于如何解决这个问题的好主意：

>>> x1 = np.random.rand(4)
>>> x2 = np.concatenate((x1, x1))
>>> x3 = np.concatenate((x1, x1, x1))
>>> np.fft.rfft(x1)
array([ 2.30410617+0.j        , -0.89574460-0.26838271j, -0.26468792+0.j        ])
>>> np.fft.rfft(x2)
array([ 4.60821233+0.j        ,  0.00000000+0.j        ,
       -1.79148921-0.53676542j,  0.00000000+0.j        , -0.52937585+0.j        ])
>>> np.fft.rfft(x3)
array([ 6.91231850+0.j        ,  0.00000000+0.j        ,
        0.00000000+0.j        , -2.68723381-0.80514813j,
        0.00000000+0.j        ,  0.00000000+0.j        , -0.79406377+0.j        ])

当然，获得三个周期的最简单方法是在时域连接3个反FFT副本：

np.concatenate((np.fft.irfft(f),) * 3)

但是，如果您希望或必须在频域中执行此操作，则可以执行以下操作：

>>> a = np.arange(4)
>>> f = np.fft.rfft(a)
>>> n = 3
>>> ext_f = np.zeros(((len(f) - 1) * n + 1,), dtype=f.dtype)
>>> ext_f[::n] = f * n
>>> np.fft.irfft(ext_f)
array([ 0.,  1.,  2.,  3.,  0.,  1.,  2.,  3.,  0.,  1.,  2.,  3.])

Answer 3

对于在FFT孔径或长度中周期性的平稳波形，你只需循环重复波形，或者IFFT(FFT())重新合成的等效波形，在时域上扩展它们。对于在FFT孔径或长度上不是周期的源在时间上守恒的波形，FFT的结果将是与Sinc函数相交的频谱。因此，需要某种相当于反卷积的方法来恢复原始的未加窗口的光谱内容。由于这种反褶积是困难的或不可能的，所以通常采用一种分析/再综合的方法，例如相位声码器或其他频率估计器。然后，这些估计的频率，可能与单个原始FFT结果中的频率不同，可以输入一组正弦合成器、一组相位修正的IFFT或其他再合成方法，以产生一个较长的波形，其频谱含量大致相同。