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数值PDE求解器超越神经PDE求解器的可解释框架
数值PDE求解器超越神经PDE求解器摘要提出DeepFDM，一种可微分有限差分框架，用于学习时空依赖偏微分方程（PDE）中的空间变化系数。 模型权重直接对应于PDE系数，产生可解释的反问题公式。 评估方法在标量PDE基准测试套件上评估DeepFDM：方程类型：平流、扩散、平流-扩散、反应-扩散和非均匀Burgers方程空间维度：一维、二维和三维性能结果在分布内和分布外测试（通过系数先验之间的Hellinger 这些结果将DeepFDM确立为数据驱动的参数PDE求解和识别的稳健、高效和透明基线。
22910编辑于 2025-08-27- 来自专栏人工智能前沿讲习
【源头活水】PDE遇见深度学习
因而，传统方法在处理高维 PDE 变得特别困难。 注意到 DNN 在近似高维函数方面具有非常强的非线性拟合能力，从而我们考虑利用 DNN 求解 PDE 以克服维数灾难。 目前，利用 DNN 求解 PDE 的方法有很多，基本想法都是利用 DNN 近似函数或者梯度，然后通过极小化某种意义下的损失函数得到最优的参数表。 是待求 PDE 的解。DGM 和 DRM 都是利用 DNN 来近似方程的解，即 ? 主要是对应的损失函数有些不同。 Deep Ritz method DRM 的想法来源于上述 PDE 的变分形式，可以知道泛函 ?
2.3K20发布于 2021-01-14 - 来自专栏王的机器
付费系列 5 - Snowball Autocallable PDE 有限差分
本篇以真实的交易证实 (term sheet) 为例，揉碎了讲解如何用 PDE FD 来定价雪球 Autocallable 产品。 ? PDE FD 定价组成雪球的基本产品 (各种单边/双边障碍，单边/双边触碰，连续和离散障碍) 的可视图： UOC /UOP 离散障碍 ? UOC /UOP 连续障碍 ?
2K40发布于 2021-01-06 - 来自专栏图像处理与模式识别研究所
线性一维平流方程解决以下PDE的程序。
LinearAdvection_1D.m %% Linear 1D Advection equation % Routine for solving the following PDE % % du
59020编辑于 2022-05-28 - 来自专栏图像处理与模式识别研究所
Matlab的PDE工具箱的简单使用，建立几何模型。
Options] 11、点击[Axes Limits] 12、点击[X-axis range] 13、点击[Apply] 14、点击[X] 15、点击[∂Ω] 16、按<Shift>键 17、点击[PDE ] 18、点击[PDE Specification] 19、点击[f] 20、点击[OK] 21、点击[△] 22、点击[▲] 23、点击[Solve] 24、点击[Solve PDF
3.5K20编辑于 2022-05-28 - 来自专栏数据派THU
迁移学习「求解」偏微分方程，条件偏移下PDE的深度迁移算子学习
图 1：利用 DeepONet 提出的近似 PDE 解的迁移学习框架。（来源：论文） 研究人员将目标神经算子称为迁移学习深度算子网络 (TL-DeepONet)。 重要的是，所提出的迁移学习框架能够在标记数据非常有限的领域中识别 PDE 算子。这项工作的主要贡献可归纳如下： 提出了一种新的框架，用于在深度神经算子的条件转移下迁移学习问题。 所提出的框架可用于快速高效的特定于任务的 PDE 学习和不确定性量化。 利用 RKHS 和条件嵌入算子理论的原理来构建新的混合损失函数并对目标模型进行微调。 研究人员提出了参数 PDE 的迁移学习问题的综合集合，以评估所提出方法的有效性。图 2 给出了所考虑的不同基准的直观描述。首先介绍基准问题以及所考虑的迁移学习场景，然后提供实验结果。 （来源：论文） 总的来说，研究发现在解决条件分布不匹配的 PDE 问题时，转移先前获得的知识（即从模型的较低级别学习的域不变特征）和对网络的较高级别层进行优化，可以实现高效的多任务算子学习。
87920编辑于 2023-03-29 - 来自专栏王的机器
付费系列 2 - 美式和百慕大期权 PDE 有限差分
本篇对美式期权和百慕大期权用 PDE FD 做定价。 处理提前执行还可以用最小二乘法蒙特卡洛 (Least-Square Monte Carlo, LSMC) 法，但我个人更偏向用 PDE FD + SOR 方法。 百慕大期权 PDE FD 的概览图 ? OOP 方法的代码 我将求解美式和百慕大期权的 SOR 和 PM 方法以 OOP 的方式编写了，OOP 的好处是以后再为其它期权编写 PDE FD 的算法时，可以重复使用。 ? ? 量化分析 ? 付费用户（付 1 赠 1）可以获得： 美式和百慕大期权 PDE FD 定价方法论 (pdf) Python 代码 (Jupyter Notebook) ? PDF ? ? ? ?
1.1K10发布于 2020-07-24 - 来自专栏逆向技术
内核知识第八讲,PDE,PTE,页目录表,页表的内存管理
内核知识第八讲,PDE,PTE,页目录表,页表的内存管理 一丶查看GDT表. 页目录表: 也称为PDE,而页表称之为PTE. CPU会通过虚拟地址,当作下表.去页目录表中查询.然后查到的结果再去页表中查询.这样就查到对应的物理地址了. PDE表的大小: 页目录表,存储在一个4K字节的物理页中,其中每一项是4个字节.保存了页表的地址. 而最大是1M个页. PTE表的大小. PTE的大小也和PDE一样的. 分为高10位,和低10位做 PDE,和PTE的索引. 然后进行查表. 最后的通过PTE查询的高20位加上原虚拟地址的低12位, 然后就找到了物理地址.
2.3K10编辑于 2022-05-10 - 来自专栏机器之心
用消息传递求解偏微分方程，ML大牛Max Welling等用全神经求解器做到了更强、更快
在测试期间，新的 PDE 稀疏可以成为求解器的输入。 方法 研究者基于最近该领域令人兴奋的工作进展来学习 PDE 求解器。这些神经 PDE 求解器的背后离不开这一快速发展且有影响力的研究领域。 用于时间 PDE 的神经 PDE 求解器可以分为两大类，分别为自回归方法和神经算子方法，具体如下图 1a 所示。 研究者通过两部分详细描述了他们的方法，即训练框架和架构。 他们并不是首个将 GNN 用作 PDE 求解器的，但自己的方法具有一些显著特征。下图 3 为本文 MP-PDE 求解器的概览： 具体而言，编码器用来计算节点嵌入。 下表 2 比较了 MP-PDE 求解器与 SOTA 数值伪谱求解器。结果可知，MP-PDE 求解器在伪谱求解器中断工作的低分辨率条件下获得了准确的结果。 有趣的是，MP-PDE 求解器可以在不同的边界条件上泛化，并且如果边界条件通过θ_PDE 特征注入到方程中，泛化更加明显。
76230编辑于 2022-03-04 MATLAB中的偏微分方程：从基础到实际应用
与常微分方程（ODE）不同，PDE涉及多个自变量（如时间和空间坐标）的变化率。 MATLAB中PDE的基本解法MATLAB中解决PDE有几种主要方法：1. PDE工具箱（GUI界面）PDE工具箱是MATLAB中最简单的入门方式。 你可以：- 绘制几何区域- 设定边界条件- 选择PDE类型- 生成网格- 求解并可视化结果这对于初学者来说简直太友好了。不用写一行代码，就能解决简单的PDE问题！2. MATLAB的PDE工具箱支持这种方法。 非线性PDE现实世界中的大多数PDE都是非线性的（这就是为什么它们如此难解！）。
86710编辑于 2025-10-02- 来自专栏机器之心
方程就是二叉树森林？遗传算法从数据中直接发现未知控制方程和物理机理
SGA-PDE 通过多层级的优化，可以兼顾二叉树拓扑结构的利用与探索，有利于高效找到最优的方程形式。 图 6 则展示了 SGA-PDE 寻找具有分式结构控制方程的优化过程。 图 5：SGA-PDE 对 KdV 方程的优化过程 图 6：SGA-PDE 对具有分式结构的方程的优化过程 控制方程是对领域知识的一种高效表示形式，然而许多现实问题的方程参数甚至方程形式都不确定， SGA-PDE 通过符号数学的方法对方程进行转化，解决了任意形式的偏微分方程的表示问题。 在优化中，SGA-PDE 不依赖于方程形式的先验信息，也无需给定候选集，实现了对复杂结构方程的自动寻优。同时，SGA-PDE 也是无梯度算法，避免了方程结构与损失值之间梯度难以计算的问题。
60130编辑于 2022-06-14 - 来自专栏数据派THU
ICML 2023 | LSM：基于隐谱模型的高维偏微分方程求解器
引言 现实世界中许多现象都是由偏微分方程（PDE）控制的，例如湍流、大气环流、材料形变等。因此，求解PDE是科学与工程领域共有的基础性问题，对飞机设计、气象预报、建筑承重测试等重大需求至关重要。 通过上述近似，PDE的求解过程即可被简化为优化系数，使得可以更好地满足PDE约束。在PDE求解中，谱方法具有优秀的近似和收敛性质。 PDE。 由于PDE约束已经被蕴含在输入-输出数据中，随着深度模型的训练，将不断被优化，即求解PDE。此外，神经谱单元的设计也使得LSM具有了通用拟合能力。 总结 针对高维PDE求解这一关键科学问题，本文提出了隐谱模型（LSM），创新地将PDE求解过程投影至隐空间，并通过学习多个基算子实现了理论保证下高维复杂映射的高效、准确模拟。
86120编辑于 2023-05-18 - 来自专栏机器之心
偏微分方程有了基础模型：样本需求数量级减少，14项任务表现最佳
研究者不禁提出，如何才能显著减少 PDE 学习所需的训练样本数量？ 来自苏黎世联邦理工学院等机构的研究者提出了 Poseidon，这是一种用于学习 PDE 解算子的基础模型。 具体而言，他们在 15 项具有挑战性的下游任务上对 Poseidon 进行了评估，这些任务涵盖线性和非线性、时间相关以及椭圆、抛物线、双曲线和混合型 PDE。 总结来看，本文展示了 Poseidon 的惊人能力，它能够在预训练期间从非常小的一组 PDE 中学习有效表示，从而很好地扩展到下游未见过和不相关的 PDE，证明了其作为有效通用 PDE 基础模型的潜力。 这些结果首次肯定了 PDE 基础模型的可行性这一基本问题，并为进一步开发和部署 Poseidon 作为高效的通用 PDE 基础模型铺平了道路。 其中 scOT 是一种具有前置时间条件的分层多尺度视觉 transformer，用来处理前置时间 t 和函数空间值初始数据输入 a，以近似 PDE (2.1) 的解算子 S (t, a)。
27810编辑于 2024-06-17 - 来自专栏WOLFRAM
有限元法在非线性偏微分方程中的应用
Mathematica 12 为偏微分方程（PDE）的符号和数值求解提供了强大的功能。本文将重点介绍版本12中全新推出的基于有限元方法（FEM）的非线性PDE求解器。 最近，基于有限元法的数值求解函数得到显著增强，并有望求解任意区域上的PDE并获得特征值/特征函数。 从自然科学到工程应用的多数 PDE 都是 (1) 的特例。 但作为提供给 NDSolve 的 PDE 进行输入时， PDE 则在 NDSolve 开始处理前被计算，结果 2u´ (x)u´´ (x) 被视为方程式 (1) 的第一项．由于这并非是方程式 (1) 在线性 PDE 的情况下，联立线性方程组是从 PDE 的弱形式到离散化来求解的，但这也用于求解非线性 PDE。
3.1K30发布于 2020-06-24 - 来自专栏深度学习技术前沿
1秒极速求解PDE：深度神经网络为何在破解数学难题上独具天赋？
转自：机器之心 两种基于深度神经网络的新方法，均可成功求解 PDE，并且能够以更快的速度、更简单的方式建模复杂的系统。有趣的是，和大多神经网络一样，我们猜不透它们为什么如此优秀。 ? 研究者们致力于使用偏微分方程（Partial differential equation，PDE）来描述涉及许多独立变量的复杂现象，比如模拟客机在空中飞舞、模拟地震波、模拟疾病在人群中蔓延的过程、模拟基本力和粒子之间的相互作用 神经网络入场求解 PDE 偏微分方程有用且极其难以解决的原因是它的复杂性。
2.1K30发布于 2021-05-08 - 来自专栏Eureka的技术时光轴
暴力搜索内存进程对象反隐藏进程
不难得出由虚拟地址addr得到PDE指针的计算公式为：PDE指针=页目录基址+[addr >> (页表索引位数+页内偏移)] * PDE长度。 判断PDE的0位是否为1, 如果不为1则PDE无效, 对应的1024个页面不在物理内存中, 虚拟地址递增4Mb (1024*4Kb). 如果 PDE 的0位为1, 表示对应的1024个页面全部或部分在物理内存中, 则判断PDE的7位是否为1, 如果为1则表示对应的1024个页面全部在物理内存中. INVALID_ PDE; if( (*(PULONG)pde & 0xl ) ! =0 && (*(PULONG)pde& 0×80)!=0) return VALID_PAGE; if( (*(PULONG)pde & 0xl ) !
2K20发布于 2019-12-20 - 来自专栏量子位
用上傅里叶变换，很快啊，AI几秒钟就能解出偏微分方程
它就是偏微分方程（PDE），在我们的世界中无处不在。 ? 但在实际应用中，用计算机求解偏微分方程的难度很大，往往为了求出一个解而需要大型机器运行一个月。 训练神经网络其实就是尽可能逼近这个函数，这和数值求解PDE本质是一样的。 2019年，来自布朗大学和中科院的学者开发了一种“深度算子网络”（DeepONet），就是用算子的方法求解PDE。 然后，DeepONet结合两个网络的输出，得到PDE的解。 ? 虽然DeepONet相比PDE数值求解器速度惊人，但是它需要在训练期间进行密集计算。 那么神经算子能加速PDE求解吗？ 傅里叶变换 后来，加州理工大学与普渡大学的团队，开发了另一种新的方法——“傅里叶神经算子”（FNO）。
1.5K30发布于 2021-05-11 - 来自专栏机器学习与统计学
PINN再登Nature ! 这些好发论文的创新思路，学到就是赚到！附免费学习资源
原理 物理信息神经网络（PINN）的核心思想是利用神经网络的强大拟合能力，结合物理信息（如偏微分方程PDE的约束）来求解复杂物理系统的建模问题。 核心公式 PINN的核心数学形式基于PDE的残差最小化。考虑一个一般PDE问题： 其中，N是微分算子，u是待求解场，Ω是空间域。 PINN的损失函数由两部分组成： 数据拟合项：匹配观测数据。 物理残差项：强制PDE满足。 损失函数公式为： 其中： ，基于观测数据。 ，基于PDE残差。 λ是超参数，平衡两项权重。 通过梯度下降优化网络参数，使总损失最小化，PINN能同时拟合数据和物理规律。 推导 PINN的推导从PDE的弱形式出发，结合神经网络作为函数近似器： 网络结构：使用全连接神经网络，输入为坐标(x,t)，输出为物理场u。 核心公式：在图结构上定义PDE残差，利用GNN聚合邻居信息。 效果：在AC最优功率流问题中，PINCO求解器比传统方法快5倍。
1.5K10编辑于 2025-11-20 物理信息神经网络（PINN）：AI与物理定律的融合新范式
PINN创新性地将物理定律以偏微分方程（PDE）的形式嵌入神经网络训练，实现了数据驱动与物理约束的有机结合，为科学计算领域带来了革命性突破。 1.1 函数逼近假设 PINN假设深度神经网络可作为通用函数逼近器，近似描述物理现象的未知解（即PDE的解）。 物理残差损失（L_phys）是PINN的创新性核心，将神经网络输出代入目标PDE，计算方程不满足的残差并最小化，强制模型在整个问题域内遵守物理定律。 定义伯格斯方程的PDE残差函数 def pde(x, u): # x为输入变量，shape为(N, 2)，第一列是t，第二列是x # u为网络输出，shape为(N, 1)，表示u(t, 该案例中，PINN仅通过少量采样点即可精准逼近伯格斯方程的解，验证了其在非线性PDE求解中的有效性。
3.2K30编辑于 2026-01-14- 来自专栏DeepHub IMBA
时间序列平滑法中边缘数据的处理技术
如果你对上面的效果感兴趣，那么本文将解释以下内容: Perona-Malik PDE(偏微分方程)，以及为什么要使用它 如何求解偏微分方程。 和热方程的比较 Perona-Malik PDE 下面是将要处理的方程公式: Perona-Malik PDE。式中u是我们要平滑的时间序列，α是控制边保的参数(α越小对应的边保越多)。 这种方法比热方程更难，因为Perona-Malik PDE是非线性的(不像热方程是线性的)。一般来说，非线性方程不像线性方程那么容易求解。 与热方程的比较 到目前为止，还没有说Perona-Malik PDE参数α。如果你取α非常大，趋于无穷，就可以将Perona-Malik PDE化简为热方程。 最后让我们看看一些对比结果的动图 Perona-Malik PDE与热方程的比较。参数σ = 1， α = 20, k=0.05。
1.7K20编辑于 2022-11-11
腾讯云开发者
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