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非线性可视化（4）庞加莱截面
上一期介绍了几个经典的非线性系统，并给出了他们在三维相空间的各种表现。 但是随着维度增加到三维甚至更高维，光绘制出相空间已经不足以直观的了解系统的形态。我们也很难对着一坨烂七八糟的轨线在论文里水字数。 :,k);yP1=y(:,k+1); Dis0=Dis(k);Dis1=Dis(k+1); %一维线性插值，求Dis=0时的t和y %（相比较前面积分的4阶 d*y(2)+r*y(3); dy(3)=-w*sin(w*x); F=[dy(1);dy(2);dy(3)]; Output=[]; end function [y,Output]=ODE_RK4_ ~]=Fdydx(xn+h ,yn+h*K3 ,Input); y(:,ii+1)=yn+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); end Output=[]; end 下面是相同效果下 [y1,Output]=ODE_RK4_hyh(x0,h,y0,[1.15,1,1]); Lx=y1(1,:); Ly=y1(2,:); Lz=cos(1*x0); %不用计算截面的方式 % Plane
3.5K12编辑于 2023-03-15 - 来自专栏学弱猹的精品小屋
数值优化（4）——非线性共轭梯度法，信赖域法
Theorem 1: 设线性共轭梯度法的第 步迭代的结果 不是解，那么有以下结论成立 (1) (2) (3) (4) 具体的来说，我们的算法构造可以写成这样的一个形式 ? 非线性共轭梯度法 事实上，非线性共轭梯度法相比较线性共轭梯度法而言，只是修改了几个标记而已。但是它们的成功也是有理论保障的，我们会慢慢看到。 同理也可以解释我们的第4步和第5步，在线性共轭梯度法中，它的目标是为了解 ，使得 尽可能的小。但是本质上，其实就是为了使得优化时梯度可以尽量的趋于0，这也符合我们对优化算法的要求。 到此，我们算是得到了一个能用的非线性共轭梯度法。 小结 本节主要介绍了非线性共轭梯度法和信赖域法。非线性共轭梯度法的形式和线性共轭梯度法相同，但是我们为了保证它的有效性，也介绍了很多有趣的技巧。
1.5K20发布于 2021-08-09 - 来自专栏数值分析与有限元编程
非线性概述
什么是非线性问题？ 在结构变形过程中，结构刚度一般会发生变化。在结构变形不太大时，结构刚度变化不大，采用线性近似可得到工程应用可接受的结果，此即为线性求解。 结构变形较大时，结构刚度发生显著变化，必须采用变刚度法求解，此即为非线性问题。 非线性问题的类型 材料非线性 如弹塑性，超弹性，粘弹性等。 ? ▲非线性弹性 几何非线性 如大变形，大转动，屈曲等。 几何非线性在变形后的构型上建立平衡方程。 ? ▲几何非线性 3.接触/边界非线性 由于接触状态发生改变引起结构刚度发生变化。 非线性问题的特点 解的不唯一性 在给定的外荷载作用下，可以有一个解，或者多个解。 ? 结果不可放缩 在外力 作用下发生位移 ，由此并不能推出外力 作用下，发生的位移为 。 结果与载荷路径有关 屈曲分析的解与载荷路径有关 非线性问题求解方法 将施加的荷载分解为多个增量步，采用牛顿-拉夫逊法逐步求解。牛顿-拉夫逊法的特点： 无条件收敛。
1.1K10发布于 2021-04-30 - 来自专栏yeedomliu
非线性成长
前言 一个环境长期越稳定，线性法则在其中就越适用；相反，如果一个环境变化越快、越频繁，则非线性法则越容易在其中起主导作用 创业是让人快速精进、快速成长的最好环境，至少是之一 解决问题，是创业过程中我所有学习和成长的唯一意义 这是这一阶段我“成长的意义 ---- 01 我的非线性成长之路 一个人的成长和进步往往是受到环境牵引的，而你所在的行业、公司、你的工作内容、你所接触的人群和圈子，都构成了环境的一部分。 第一要紧的事情就是，尽快建立起几项自己在这个行业内的核心技能，它们可以成为你在这个行业成长和发展的基石，甚至是将来你在行业内的安身立命之本 去参与或负责一些可能涉及多部门协作的复杂项目的推进落地 02 非线性世界的真相与基本规律 （往往只有你进入上一条曲线的末端，下一条曲线的成长才会开启） 成长赛道、线性竞争和非线性竞争 一个新的成长赛道，背后其实是一类新的成功范式。 （如升级自己的认知或升级自己的思维模式、组织系统、商业赛道等） 试着在线性维度上变得更强，是不断给自己打补丁，而试着更换认知、组织形态等，在非线性维度上获得提升，则是给自己更换操作系统 第一条“一级成长曲线
95620编辑于 2022-03-31 - 来自专栏我的充电站
数值计算方法 Chapter4. 非线性方程求根
数值计算方法 Chapter4. 非线性方程求根 0. 问题描述 1. 实根的对分法 2. 迭代法 3. Newton迭代法 4. 弦截法 0. = x - fn(x)/dfn(x) if abs(y-x) <= epsilon: return y x = y return x 4.
63240编辑于 2022-05-23 - 来自专栏代码编写世界
最小二乘问题详解4：非线性最小二乘
在本文中，我们就讲解一下非线性最小二乘问题。 定义 具体来说，非线性最小二乘的目标就是找到一组参数 \theta ，使得非线性模型 f(x; \theta) 最好地拟合观测数据。 theta)}{\partial \theta^T} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{N \times p} } \quad \text{其中 } N = n \cdot m 4. 这就是我们说的非线性最小二乘求解的基础是线性最小二乘的原因了，非线性最小二乘问题的每次迭代过程就是一个线性最小二乘子问题。 非线性最小二乘与线性最小二乘求解过程的对比如下： 特性 线性最小二乘 非线性最小二乘（Gauss-Newton） 模型 \(f(x; \theta) = A \theta\) \(f(x; \theta
39210编辑于 2025-10-16 - 来自专栏巴山学长
非线性可视化（2）非线性相图
以《非线性系统》这本书中给出的一个例子作为展示。其中二阶非线性方程的公式如下： 绘制出空间中每一个点的系统导数，绘制出流线，即可得到这个非线性系统的相图。 接下来再介绍一种只有在非线性条件下，才会出现的一种经典相平面图案：极限环。 以经典的Van der Pol方程为例，这个方程的形式如下： 后面的ε为一个常数，ε越大方程的非线性越大。 第三幅图为典型的高维非线性。因为相平面内的流线不会交叉。这种交叉曲线是高维空间在二维平面上的投影。图中展示的是高维非线性中的倍周期现象的模拟。这个在后面文章中会介绍到。 后面附上本章绘图用到的matlab代码： %1二维相空间 %非线性 clear clc close all %1多平衡点的非线性系统 %参考 非线性系统（中文翻译第三版） Khalil P32 [y, ]) xlabel('y');ylabel('dy') %非线性极限环 t2=0:0.01:18; [y,Output]=ODE_RK4_hyh(t2,t2(2)-t2(1),[-1;1.161],2
1.8K10编辑于 2023-03-15 - 来自专栏联远智维
非线性振动
不知不觉中又到了年尾~，近来，在力学所年会中听了两个很不错的报告，分别为:1.胡文瑞院士讲述的引力波探测：作为八十五岁高龄，依然工作在科研一线，应该属于传说中有追求的那波人吧；2.丁虎老师讲述的连续体非线性振动 表述为丁虎老师在能量采集方面的研究工作，通过压电材料，实现能量的俘获，文章主要的创新点为：采用的L型悬臂梁结构（二自由度压电能量采集器）相较于单振子模型，具有更高的频率带宽，拓宽了能量采集的范围，得到了黄永刚院士的好评；图b表述为基于非线性弹簧的能量俘获系统 Nonlinear Dynamics, 2009, 59(4):545-558. 附2、隔振系统设计？ 汽车在结构设计过程要对发动机的振动进行隔离；日常生活中，通过添加软垫片实现电机振动的隔离；前段时间很火的量子计算机，实验平台要有非常好的隔振能力，避免外界环境对系统的干扰~ 图a表述为振动控制主要的方法；图b~c表述为非线性消振相应的优势 低成本的隔振方案；图d表述相关的原理在工程中应用的实例；附：本科学习相关课程时，仅仅能够推导单自由度系统和双自由度系统的动力学模型，对于连续体振动，第一感觉是敬而远之，~ 附1、参考文献：王祖尧，磁悬浮能量采集非线性动力学研究
81230编辑于 2022-01-20 - 来自专栏全栈程序员必看
matlab有约束非线性规划_matlab 非线性规划
MATLAB 非线性规划及非线性约束条件求解 【题1】求非线性规划问题： 221212121min 262 f x x x x x x =+— 12121212222.23 ,0 x x x x s =[100;100]; x0=[1 1]’; intlist=[0;0]; [errmsg,Z,X] = BNB20_new(f,x0,intlist,lb,ub,A,b,Aeq,beq) 【题2】求非线性规划问题
42560编辑于 2022-09-27 - 来自专栏MyBlog
#数值分析读书笔记（4）求非线性方程的数值求解
数值分析读书笔记（4）求非线性方程的数值求解 1.关于非线性方程的根的定位以及二分法 我们直接介绍二分法 将有根区间 ? 用中点 ? 将它平分, 如果 ? 不是 ? } } public static double function(double x){ return Math.pow(x,3)+2*Math.pow(x,2)-4; ,这时我们的目的即是构造出一个等价的非线性方程 ? } } public static double function(double x){ return Math.sqrt((4- } } 割线法的速度也是十分快,而且避免了导数的运算 对于非线性方程求根还有同伦算法,拟牛顿法等,待补充
1.4K20发布于 2018-09-13 - 来自专栏巴山学长
非线性可视化（5）非线性系统的分岔图
1 离散系统的分岔图 离散系统中的混沌现象非常普遍，通常经过简单的非线性方程，然后进行反复迭代就很容易出现。 当a=0.95，系统最终在4个不同点上来回跳动。当a=1.036，系统变为在8个点上来回跳动。当a=1.076，系统变为在几根线段上来回跳动。直到a=1.38，系统开始进入混沌。 非线性可视化这个专题就先到此为止，还剩下两个非线性分析常用的方法没有介绍：功率谱法和拉雅普诺夫指数法。这两个都不属于可视化的范围内，所以这次没有写到，之后可能有机会再单独写一篇。 希望能够帮到涉及到信号振动之类研究的，同时想分析非线性的同学们。 Springer, 2011 [4]Ali.H.Nayfeh.
2.9K30发布于 2021-11-12 - 来自专栏YoungGy
【优化3】非线性优化
凸集和凸函数 SOCP Guideline
87360发布于 2018-01-02 - 来自专栏数值分析与有限元编程
非线性| 弧长法实例
1.5] iter2 = [0.5, 1.519] iter2_0 = [0.75, 1.231] iter3 = [0.5, 1.618] iter3_0 = [0.75, 1.023] iter4 = [0.5, 1.64] iter4_0 = [0.75, 0.929] iter5 = [0.5, 1.643] iter5_0 = [0.75, 0.909] plt.plot(iter1, iter1 plt.plot(iter3, iter3_0, label="M1", linewidth = 2, color = "green",marker='o', markersize=7) plt.plot(iter4, iter4_0, label="M1", linewidth = 2, color = "green",marker='o', markersize=7) plt.plot(iter5, iter5_ 弧长法的Python实现 非线性| 弧长法算例 非线性|弧长法改进
91010编辑于 2022-05-27 - 来自专栏数值分析与有限元编程
非线性|弧长法改进
弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法，使用弧长法，可以跟踪复杂的荷载-变形路径。弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法，使用弧长法，可以跟踪复杂的荷载-变形路径。弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法，使用弧长法，可以跟踪复杂的荷载-变形路径。弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法，使用弧长法，可以跟踪复杂的荷载-变形路径。
1.2K10发布于 2021-04-16 - 来自专栏6G
什么是非线性长度？
在光纤通信中，非线性效应广为人知，但非线性长度这一概念的具体含义是又什么？ 非线性长度是光纤通信中用于量化光信号因非线性效应累积而产生显著相位变化的关键参数。 这个系数直接反映了光纤对光功率的敏感程度——模面积越小，或非线性折射率系数越大，光纤的非线性响应就越强。基于这一系数，自相位调制引起的非线性相移可以表示为： 其中P是输入光功率，L是光纤长度。 值得注意的是，输入功率越高，非线性长度越短，这意味着高功率会更快触发显著的非线性效应，例如光谱展宽或信号畸变。 不过，实际光纤传输中还存在传播损耗的问题，单纯用非线性长度来描述并不完全准确。 举个例子，若光纤的损耗为0.25/km（约1.085 dB/km），长距离传输时有效长度最终会稳定在4公里左右。 这一特性在对比不同类型光纤时非常实用，比如高度非线性光纤虽然损耗较高，但其非线性系数可能提升数十倍，综合效果反而更优。 实际应用中，非线性长度和有效长度需要结合起来分析。
18000编辑于 2025-03-29 - 来自专栏数值分析与有限元编程
几何非线性| 应变张量
考虑二维空间中的一个连续体,分别是其中的两个物质点，如图3.1所示。在连续体变形前(时刻)引入物质坐标系，另外，在连续体变形之后(时刻)引入空间坐标系。两个坐标系相关的基向量分别为和。
32210编辑于 2024-04-30 - 来自专栏数值分析与有限元编程
几何非线性| 描述运动
。通常假定初始状态为未变形状态,称为该连续体的初始构形(initial configurafions)或未变形构形。注意这是理想模型的概念,实际上很少存在未变形状态的物体。在当前时刻,由于各种因素作用引起该连续体发生了变形,并在空间有位置移动,其在欧氏空间中所占区域变为
33010编辑于 2024-04-25 - 来自专栏科学计算
SLAM后端：非线性优化
非线性优化 假设有目标函数： 我们要求其最小值，当然是对目标函数进行求导，但通常目标函数是非线性的，因此我们需要通过以下步骤对目标函数进行求解： 给定初值 ； 对于第 次迭代，寻找增量 ，使 这种方法是最简单的非线性优化方法，但其需要进行很多次迭代。 2. 4.LM算法 高斯牛顿只有在展开点附件才会有比较好的近似效果，LM算法则给 增加了一个信赖域，来限制其大小，信赖域内部认为可信，否则不可信。 ； 求解最速下降法增量，如果太小，则退出；计算高斯牛顿法增量，如果太小，也退出； 计算信赖域半径，如果太小，则退出； 根据高斯牛顿法与最速下降法分别计算 和 ，然后计算迭代步长 ； 根据3，4计算
1.2K30发布于 2021-05-11 - 来自专栏DearXuan的博客文章
算法基础-非线性结构
非线性结构的概念 线性结构是指逻辑上各个结点一一对应的关系，例如链表，即使它在储存上可能并不是顺序储存 非线性结构是指逻辑上存在一对多关系的结点的结构，例如树，图等。 = NULL) q->push(front->rChild); free(front); } } 上图所示二叉树的广度优先遍历顺序为：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图 i,j)=1表示 G 中 i 和 j 代表的结点相邻 显然同一个图 G 中结点 V 的个数是固定的，设为 n，因此矩阵 M 是一个 n 阶的方阵 例如以下无向图 它用矩阵表示为 0 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 3 0 1 1 1 0 4 1 1 0 0 1 实际上 M(i,j) 除了表示相邻状态以外，还可以用来表示权值，例如路径长度，只需要把 ; g.addEdge(4,5); g.addEdge(6,7); g.GetDFSTime(); } 得到运行结果 将各个顶点按结束时间(第二个)降序排列，得到的序列即是拓扑序列
1.3K20编辑于 2022-02-24 - 来自专栏全栈程序员必看
非线性最小二乘问题例题_非线性自适应控制算法
摘录的一篇有关求解非线性最小二乘问题的算法–LM算法的文章，当中也加入了一些我个人在求解高精度最小二乘问题时候的一些感触： LM算法，全称为Levenberg-Marquard算法，它可用于解决非线性最小二乘问题 下面来看看LM算法的基本步骤： ·从初始点x0，μ0>0开始迭代 ·到第k步时，计算xk和μk ·分解矩阵Gk+μkI，若不正定，令μk=4μk并重复到正定为止 ·解线性方程组(Gk+μkI)sk= −gk求出sk并计算rk ·若rk<0.25，令μk+1=4μk；若rk>0.75，令μk+1=μk2；若0.25≤rk≤0.75，令μk+1=μk ·若rk≤0，说明函数值是向着上升而非下降的趋势变化了
1.1K30编辑于 2022-11-10
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