- 综合排序
- 最热优先
- 最新优先
- 来自专栏灰灰的数学与机械世界
考研（大学）数学 积分（4）
积分（5） 基础 设 f\left( x \right) 连续，且 \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f\left( x \right)}{x}=2 ，求 ^2}x\pi dx=\int_0^1{x\left( \frac{1-\cos 2\pi x}{2} \right)}dx\\&==\int_0^1{\frac{1}{2}xdx-\frac{1}{4\ pi}\int_0^1{xd\left( \sin 2\pi x \right)}}\frac{1}{4}-\frac{1}{4\pi}x\sin \pi x\bigg|_{0}^{1}-\frac{1 }{2\pi}\cos 2\pi x\bigg|_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}\end{align*} 解题思路：凑定积分的定义，分部积分。 _0^{\pi}{e^{\cos x}d\cos x=e^{\cos x}\bigg|_{0}^{\pi}}=\frac{1}{e}-e\end{align*} 解题思路：含参数求导，凑微分以及分部积分
59620编辑于 2022-11-23 - 来自专栏司六米希
【高等数学】【4】不定积分
【高等数学】【4】不定积分 1. 不定积分的概念与性质 1.1 原函数的定义 1.2 不定积分定义 1.3 不定积分与微分关系 1.4 基本积分表 1.5 不定积分的性质 2. 换元积分法 2.1 第一类换元法 2.2 第二类换元法 3. 分部积分法 4. 有理函数的积分 4.1 有理函数 4.2 可化为有理函数的积分举例 1. 不定积分的概念与性质 1.1 原函数的定义 1.2 不定积分定义 1.3 不定积分与微分关系 1.4 基本积分表 1.5 不定积分的性质 2. 换元积分法 2.1 第一类换元法 2.2 第二类换元法 3. 分部积分法 4. 有理函数的积分 4.1 有理函数 4.2 可化为有理函数的积分举例
46120编辑于 2022-11-15 - 来自专栏数值分析与有限元编程
数值积分|高斯积分
还可以用梯形中位线表示 上式的意义是：一次函数的高斯积分需要一个高斯积分点即x=0的位置，确定的权重是2，积分点的函数值是f(0)。 对于式(3)，取一般的二次函数 ，可以验证： 上式的意义是:二次函数的高斯积分需要两个高斯积分点 和 ，权重各为1，就可以计算积分了。 再来看三次函数 ，可以验证： 由此得到的规律是：四次，五次曲线有三个高斯积分点，六次曲线和七次曲线则需要四个高斯积分点，规律也是一样的。 也就是说，n个高斯积分点可以计算2n-1次及以下的函数积分。 ? 高斯积分点是强制使这种数值积分结果与前2n-1阶多项式的积分相等解出来的。比如你打算使用n个点，你还有n个未知权重。 你就要使这种数值积分的结果等于对应的从0到2n-1的所有多项式项在区间内的积分结果。这样你就有一个2n阶的非线性方程组，解了它，就能获得积分点和权重值。
6.4K30发布于 2020-05-08 - 来自专栏python3
Python求积分（定积分）
函数 ∫21xdx∫12xdx \int_1^2 {x} \,{d}x 代码 from sympy import * x = symbols('x') print(integrate(x, (x, 1, 2))) 解释 integrate(函数，（变量，下限， 上限）)
2.9K20发布于 2020-01-08 - 来自专栏云深之无迹
曲线积分：沿着曲线的积分
曲线积分，顾名思义，就是沿着一条曲线进行的积分。与我们常见的定积分（在一段区间上积分）不同，曲线积分的积分路径是一条曲线。 在物理学中，很多问题都可以转化为曲线积分。 曲线积分可以用来计算曲线的长度、曲面面积等几何量。 第一型曲线积分: 计算一根非均匀密度细杆的总质量。此时，f(x,y)表示细杆在点(x,y)处的线密度，积分结果就是整根细杆的质量。 根据被积函数的不同，曲线积分可以分为两类： 第一型曲线积分: 其中，C为积分路径，f(x,y)为被积函数，ds为曲线C上的弧长微元。 被积函数为一个标量函数（即一个数值函数）。 格林公式: 对于闭合曲线上的第二型曲线积分，可以利用格林公式将其转化为二重积分。 格林公式告诉我们，在一定条件下，我们可以将一个闭合曲线的线积分转化为一个平面区域的二重积分。 格林公式将复杂的曲线积分转化为相对简单的二重积分。当曲线积分的计算比较困难时，通过格林公式，我们可以将积分区域转化为平面区域，从而简化计算过程。
1.7K10编辑于 2024-10-10 - 来自专栏数值分析与有限元编程
数值积分|自适应梯形积分
在区间 上，采用梯形公式计算 的定积分 如果将区间 二等分，采用梯形公式计算 的定积分 其中 如果将区间 三等分，采用梯形公式计算 的定积分 其中 由此可以得到递推式 表示两次迭代的相对误差 python代码 import math ###自适应梯形公式求积分 ### y = 1/( 1+x^2 ) def Func(x): return 1/( 1+pow(x,2) ) def AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间 n = 1e-6) print(T) 计算结果是0.24497869339807107，精确值为： 算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分 ，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。
3.6K30发布于 2020-06-02 - 来自专栏数值分析与有限元编程
数值积分|自适应辛普森积分公式
在 数值积分| 辛普森公式 提到，辛普森积分最简单的形式是 也就是说至少要三个积分点，两个积分子区间。所以，自适应辛普森积分公式要从S1起步,即 ? def AdaptiveSimpsonCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间 range(1,n+1): sumf += Func(a+(i-0.5)*h) t = 0.5*(t0 + h*sumf) s = (4* 计算结果是0.7853981628062056，精确值为 算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值 ，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。
4.4K31发布于 2020-06-09 - 来自专栏数值分析与有限元编程
数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分
[算例] 1.求积分 ? 要求误差小于0.001 展开得 ? x=1代入 ? ? 如果要求误差小于10^-6, 则保留前五项 ?
10.3K20发布于 2020-04-21 - 来自专栏云深之无迹
广义积分
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。 ? 因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。 定积分的两个重要前提要求是闭区间和函数有界，而广义积分正是在闭区间和函数有界的基础上，放宽约束条件从而延申出来的概念，所以可以认为广义积分是特殊的定积分，但是一定要切记，广义积分不是定积分。 如果放宽闭区间约束，即一个定积分的上限或者下限趋于无穷大，则称此积分为无穷区间上的广义积分。 如果放宽函数有界的约束，即被积函数无界，则称此积分为无界函数的广义积分，亦可称为瑕积分。 小编举个例子解释下，现在有个矩形，一条边长4m，一条边长1米，现在4m长的边逐渐增大到无穷大，而1m长的边同时逐渐缩小到0，那么这个矩形面积到底是多少呢？
2.2K10发布于 2021-04-14 - 来自专栏全栈程序员必看
曲线积分_曲线积分的几何意义
曲线积分 曲面积分 第一类曲线积分和第二类曲线积分 第一类曲线积分 \(L\)为\(R^{3}\)中的可求导的长曲线，函数\(f(x,y,z)\)在\(L\)上有定义 习题： \(\int\limits _{L}|x|^{\frac{1}{3}}ds\)(\(L\):星形线\(x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}\)) 第二类曲线积分 第一类曲面积分和第二类曲面积分 第一类曲面积分 设S为可求面积的曲面函数，\(f(x,y,z)\)在\(S\)上面有定义，将其分割为\(S_{1},S_{2},S_{3},\dots,S_{n}\) 在每个小块曲面上\(S_{j} \)任取一点\(Q_{j}=(\xi_{j},\eta_{j},\zeta_{j})\) 第二类曲面积分 Green公式 \(\int_\limits{\alpha D}Pdx+Qdy=\iint_\limits
1.4K20编辑于 2022-09-20 - 来自专栏灰灰的数学与机械世界
利用分部积分以及二次积分求解一道积分问题
利用分部积分以及二次积分求解一道积分问题 3.17 （江苏省2016竞赛题） 设函数 \textstyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt ，试求定积分 解决此题有两种方法，1.考虑分部积分 2.利用二次积分 【方法一】解：令 \textstyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt ，显然 f^{'}(x )=\frac{\ln(1+x)}{1+t^2} ，根据分部积分有 \begin{align*} \displaystyle \int_{0}^{1}xf(x)dx &=\dfrac{1}{2}\int 1}{1+t^2}dt-\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\ln 2\cdot\arctan x|_{0}^{1}-f(1)\\ &=\dfrac{\pi}{4} 【方法二】解：将积分转化成二次积分，再改变积分顺序有 \begin{align*} \displaystyle\int_{0}^{1}xf(x)dx &=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{
1.4K20编辑于 2022-11-23 - 来自专栏数值分析与有限元编程
数值积分|二元函数的高斯积分
一元函数高斯积分的积分区域为[-1,1]，二元函数的高斯积分区域为 ，也就是一个边长为2的正方形区域，称为标准区域。 ? 考虑二重积分 利用累次积分和一元函数的高斯积分公式可以得到： 或者 这就是二元函数的高斯积分公式。其中W表示积分点权重，n表示积分点数目。n随着被积函数阶次增加而增加。 实际应用中，积分区域大多是非标准区域。比如 ? 这时就需要将非标准区域映射到标准区域，即 x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) 其中 是是xOy坐标系下四个顶点的坐标。 [算例] 利用高斯公式计算二重积分 其中0<x<2,0<y<1/2x+2 ? 四个顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,3),(0,2) 雅可比矩阵 采用4个积分点的高斯积分 ? 注意这里的 是高斯积分点的坐标, 。接下来用Python编程可得到结果。
5.8K20发布于 2020-05-08 - 来自专栏数值分析与有限元编程
数值积分|第一类反常积分
1 概述 无穷区间的积分又称第一类反常积分。常规计算方法是将积分上限 视为常数，然后按照定积分来处理，再将计算结果取极限。如图1所示： ? ? 2 算法实现 第一类反常积分的数值算法大致思路就是不断扩展积分区间，若扩展前后的积分的相对误差满足要求，则停止计算。 ? ? 如图2所示，计算反常积分 时，先计算 ,再计算 ,然后计算 , 若 的相对误差满足要求，则停止计算。 python代码如下： import math ### 第一类反常积分(无穷区间)数值分析 ### y = 1/( x^2 ) ### 积分区间[1,+inf) def Func(x): (左)端点 ### 子区间积分时，还要调用自适应梯形公式，这里可以任选方法。
4.2K10发布于 2020-07-14 - 来自专栏数值分析与有限元编程
数值积分|第二类反常积分
1 概述 第二类反常积分是值积分区间包含奇异点(singular points)。常规计算方法是将积分积分区间在奇异点内收，然后按照定积分来处理，再将计算结果取极限。如图1所示： ? ? 2 算法实现 image.png python代码如下： import math ### 第二类反常积分数值分析 ### y = 1/sqrt(x) ### 积分区间(0, 1] def Func return 1/ math.sqrt(x) def Improp2(Func, a, b, eps = 1e-6): ### ### a为区间的左端点，是奇异点 ###子区间积分时 def AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间 第二类反常积分的数值算法大致思路就是在奇异点附近划分一个子区间，将这个子区间二等分，将其中之一积分，剩下的再二等分，将其中之一积分，如此下去，不断扩展积分区间，若扩展前后的积分的相对误差满足要求，则停止计算
2.6K30发布于 2020-07-20 - 来自专栏云深之无迹
变限积分
积分号里面有一个变量y但对我们没有影响，相当于求和约定里的一个“哑指标”可以用任意字母替换掉。只有f这个壳是真正有意义的 ? 然后 ? 较为直观的理解就是：定（限）积分就是面积，而变限积分就是面积函数，可以理解为定（限）积分就是变限积分的一种代入值的特殊情况。 我们对 ? 求导后导数为 ? ,是因为 ?
1.3K20发布于 2021-04-14 - 来自专栏全栈程序员必看
微积分公式大全(24个基本积分公式)
发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/129539.html原文链接：https://javaforall.cn
27.3K10编辑于 2022-07-29 - 来自专栏云深之无迹
向量微积分一文速通:从曲线积分到曲面积分
两个积分之间的关系就是标量函数的投影就是第二类的积分了，也好理解，因为就是彼此正交的场量才对积分弧有作用。 这个是微积分的第二定律，牛顿-莱布尼兹公式，简化了定积分的计算，把求积分这个事情转换成了求导数的原函数。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 二重积分也称为平面积分，那么自然有曲面积分。并且和曲线积分类似，曲面积分也分为两类，标量的和向量的。 三重积分中换元法涉及的两个坐标系 这里面就说了几个坐标系。 上面的文章里面说了几个积分里面的积分基本定理，那曲面积分有没有？ 曲面积分： 计算旋度在这些曲面上的积分，就得到了曲面积分。 无论选择哪个曲面，只要它的边界是同一个闭合曲线，那么这个向量场在该曲面上的旋度的曲面积分都相等。
1.9K00编辑于 2024-12-03 - 来自专栏又见苍岚
积分中值定理
在一元积分理论中，积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理.它们都是微积分学中的基本定理，本文介绍相关内容。 的最小值和最大值，那么根据极值定理，可以得到以下式子成立： m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) 上图当中灰色阴影部分就是定积分的结果，蓝色的矩形面积是 由于m和M分别是最小值和最大值，所以我们可以得到 \int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x 第一积分中值定理 第一积分中值定理的推广 ，使得 \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) d x 证明 由于 g(x) 连续不变符号，不妨设 g(x) \ 参考资料 https://zhuanlan.zhihu.com/p/614978825 https://baike.baidu.com/item/积分中值定理/538584?
1.4K40编辑于 2023-11-18 - 来自专栏全栈程序员必看
积分上限函数_定积分的基本计算方法
设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可积，对任意的 x \in [a,b]，做变上限积分 \Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt 这个积分称为函数 f(x) 的积分上限函数。 由 1 可知： \Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt 再由定积分中值定理，得 \Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t rightarrow 0}\frac{f(\xi)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(\xi) = f(x) 故：变上限积分函数是
2.6K20编辑于 2022-09-20 - 来自专栏又见苍岚
常用积分表
本文给出基本积分表和常用积分表。 基本积分表 $$ \begin{array}{c} \int x^{a} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a+1} x^{a+1}+C \quad(a \in R, a \neq-1) d} x=\mathrm{e}^{x}(x-1)+C \\ \int a^{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\ln a} a^{x}+C \end{array} $$ 常用积分表 {1+x^{2}}} \mathrm{~d} x=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+C=\sinh ^{-1} x+C \end{array} $$ 定积分
1.4K20编辑于 2023-02-21
腾讯云开发者
Copyright © 2013 - 2026 Tencent Cloud. All Rights Reserved. 腾讯云 版权所有
深圳市腾讯计算机系统有限公司 ICP备案/许可证号：粤B2-20090059 
粤公网安备44030502008569号
腾讯云计算（北京）有限责任公司 京ICP证150476号 | 京ICP备11018762号