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凸优化（3）——梯度与次梯度：方法，性质与比较
次梯度 次梯度（subgradient）是梯度的自然延伸，从次梯度方法这个角度出发，可以从另外一条线导出我们之前已经在《数值优化》提到的几个算法，不过在这之前，我们需要补充关于次梯度的概念和相关性质。 次梯度方法及收敛性 其实在格式上，次梯度方法与梯度法很像，但它的收敛性分析其实比梯度下降方法更加复杂一些。 好的，那么我们来看一下次梯度方法的收敛性，对于不同的 Theorem 3: 对于固定步长的方法，如果 是Lipschitz连续的，且对应的常数为 （也即 ），那么有 这个性质最重要的一条信息就是固定步长下 下面放出了CMU的课程课件中，对于岭回归和LASSO问题的时候的优化算法迭代曲线，可以看出梯度方法到达了数值误差（关于数值误差可以参考《数值优化》第3节：数值优化（3）——线搜索中的步长选取方法，线性共轭梯度法 Definition 3: Polyak Step-size 定义步长 为波利亚步长。
2.2K10发布于 2021-08-09 - 来自专栏SuperFeng
机器学习系列 3：梯度下降
梯度下降（Gradient descent）是一个用来求代价函数最小值的算法。 梯度下降算法的思想就是首先先从一组参数值（θ0, θ1）开始，不断地去尝试各种（θ0, θ1），直到使得代价函数 J(θ0, θ1) 最小为止。 将梯度下降以伪代码形式呈现： ? 该函数每次循环都要将 θ0, θ1 更新，并且保证同步更新： ?
53120发布于 2019-09-26 - 来自专栏WD学习记录
机器学习 学习笔记（3） 梯度下降
梯度下降法 梯度下降法是一种常用的一阶优化方法，是求解无约束优化问题最简单、最经典的方法之一。 梯度下降算法如下： 输入：目标函数 ? ，梯度函数 ? ，计算精度 ? ： 输出： ? 的极小点 ? （3）计算梯度 ? ，当 ? 时，停止迭代，令 ? ，否则，令 ? ，求 ? ，使 ? （4） 令 ? ，计算 ? ，当 ? 或 ? 时，停止迭代，令 ? （5）否则，令k=k+1，转（3） 当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解释全局最优解，一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的收敛速度也未必是很快的。 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，简称BGD） 批量梯度下降法是梯度下降法最原始的形式，它的具体思路是在更新每一参数时都使用所有的样本来进行更新。 统计学习方法》 深度解读最流行的优化算法：梯度下降 三种梯度下降的方式：批量梯度下降、小批量梯度下降、随机梯度下降
58010发布于 2018-09-03 - 来自专栏AI机器学习与深度学习算法
学习回归 1-3 梯度下降法
梯度下降法 图片 \frac{d}{dx}g(x) = 2x - 2 令导函数等于 0，求出极值点，这个点是极大值还是极小值，通过极值点左右的增减性来判断（由导函数在区间范围内的正负判断）。 导数的符号 找到最小值时 x 需要增加或减小 x < 1 - 增加 x > 1 + 减小 图片 x:=x - \eta \frac{d}{dx}g(x) 图片 \begin{split} x&:=3- 1(2\times3 - 2) = -1 \\ x&:=-1-1(2\times-1-2) = 3 \\ x&:=3 - 1(2\times 3-2) = -1\\ &\cdots \end{split } 图片 图片 \begin{split} x&:=3-0.1\times(2\times 3 - 2) = 2.6\\ x&:=2.6-0.1\times(2\times 2.6-2) = 2.3 )) \times x^{(i)} \\&= \sum_{i=1}^{n}(y^{(i)} - f_{\theta}(x^{(i)}))x^{(i)} \end{split} 通过上述的计算，梯度下降算法的表达式如下
36820编辑于 2022-11-08 - 来自专栏AiCharm
深度学习相关概念：3.梯度下降
梯度下降概念 在深度学习中，你一定听说过“梯度下降”，在绝大部分的神经网络模型里有直接或者间接地使用了梯度下降的算法。 而降低损失函数的值，我们一般采用梯度下降这个方法。所以，梯度下降的目的，就是最小化损失函数。 3. 梯度下降的原理 梯度下降就是寻找损失函数的最低点。那么如何寻找损失函数的最低点呢？ 5.2 随机梯度下降（SGD） 随机梯度下降法和批量梯度下降法是两个极端，批量梯度下降每次采用所有数据下降，随机梯度下降每次用一个样本来梯度下降。 小批量梯度下降是集中了随机梯度下降（SGD）和批量梯度下降（BGD）的优点：使用多个样本相比SGD提高了梯度估计的精准度，小批量的估计。 但是梯度下降3种算法都有缺点，都可能会陷入局部最优或者计算量大。应该如何改进？目前人们已经提出动量法和自适应梯度来解决本文中的问题。详情见我的下一篇博客——深度学习相关概念：动量法与自适应梯度
60730编辑于 2023-05-15 - 来自专栏深度学习与计算机视觉
梯度消失与梯度爆炸
简介 梯度消失问题和梯度爆炸问题，总的来说可以称为梯度不稳定问题。 ReLU激活函数，用Batch Normal，用残差结构解决梯度消失问题 正则化来限制梯度爆炸 梯度消失 梯度消失的原始是反向传播时的链式法则。 当模型的层数过多的时候，计算梯度的时候就会出现非常多的乘积项。 梯度爆炸 梯度爆炸也是类似的情况，只是系数>1，反复累计相乘之后，导致爆炸。 这样梯度消失的问题就缓解了。 正则化 L2正则化是在损失函数上施加的一个惩罚项，当损失过大的时候，让损失可以保持一个较小的值，避免了梯度爆炸，又有防过拟合的作用。
1.8K20编辑于 2021-12-07 - 来自专栏从流域到海域
梯度消失和梯度爆炸
type=detail&id=2001702118 梯度消失和梯度爆炸 ? yhat=wLwL−1wL−2...w3w2w1xy^{hat}=w^{L}w^{L-1}w^{L-2}...w^{3}w^{2}w^{1}xyhat=wLwL−1wL−2...w3w2w1x 这里简化了激活函数 因此W>IW>IW>I时，yhaty^{hat}yhat就以指数级别增长(因为L个w相乘)，对应梯度爆炸。 同理W<IW<IW<I时，yhaty^{hat}yhat就以指数级别降低(因为L个w相乘)，对应梯度消失。 如何解决梯度消失和梯度爆炸 基本的思想即尽量使每个w取接近1的值，即不过分大于1，也不过分小于1.
96030发布于 2019-05-26 - 来自专栏计算机视觉
PyTorch使用Tricks：梯度裁剪-防止梯度爆炸或梯度消失 ！！
前言 梯度裁剪（Gradient Clipping）是一种防止梯度爆炸或梯度消失的优化技术，它可以在反向传播过程中对梯度进行缩放或截断，使其保持在一个合理的范围内。 3、怎么获得梯度的norm # 对于模型的每个参数，计算其梯度的L2范数 for param in model.parameters(): grad_norm = torch.norm(param.grad （3）长序列训练：在处理长序列数据（如机器翻译或语音识别）时，由于序列长度的增加，梯度可能会在反向传播过程中累加并导致爆炸。梯度裁剪可以防止这种情况发生。 （2）不能解决梯度消失问题：梯度裁剪只能防止梯度爆炸，但不能解决梯度消失问题。在深度神经网络中，梯度消失也是一个常见的问题，它会导致网络的深层部分难以训练。 （3）可能影响优化器的性能：某些优化器，如Adam和RMSProp，已经包含了防止梯度爆炸的机制。在这些优化器中使用梯度裁剪可能会干扰其内部的工作机制，从而影响训练的效果。
4.2K10编辑于 2024-03-19 - 来自专栏往期博文
深度学习基础：3.反向传播和梯度下降
梯度下降 梯度下降的代数表示 令多元线性回归方程为 f ( {2})=-\frac{1}{2},w_2=\frac{3}{2},w_3=w_2-\alpha*grad(w_2)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})=\frac =grad(\frac{7}{4})=-\frac{1}{4},w_3=\frac{7}{4},w_4=w_3-\alpha*grad(w_3)=\frac{7}{4}-\frac{1}{2}(-\frac {1}{4})=\frac{15}{8} grad(w3)=grad(47)=−41,w3=47,w4=w3−α∗grad(w3)=47−21 编程实现 编写一个函数求梯度，默认学习率为0.01，迭代次数为1000次。
57910编辑于 2022-06-14 - 来自专栏自然语言处理
机器学习（九）梯度下降算法1 梯度2 梯度下降法
1 梯度 1.1 定义 梯度：是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数。 关于梯度的更多介绍请看：如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系？ 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。 如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。 ? 红色的箭头指向该点梯度的反方向。（一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直）。沿着梯度下降方向，将最终到达碗底，即函数F值最小的点。 ? 代码实现 参考： 梯度下降算法以及其Python实现 梯度下降法
1.6K80发布于 2018-04-11 - 来自专栏技术专栏
Python3入门机器学习（六）- 梯度下降法
2.2-5 ---- 3 多元线性回归中的梯度下降法 ? 3-1 一个三维空间中的梯度下降法（x,y为系数，z为损失函数） ? 3-2 推导过程 ? 3-3 ? 3-4 上面推导出的式子的大小是和样本数有关的，m越大，结果越大，这是不合理的，我们希望和m无关 ? 3-5 ---- 4 线性回归中的梯度下降法的实现 4.1 比较笨的方法实现 def fit_gd(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters = 1e4): 4.4-3 如果样本数非常多，那么即使使用梯度下降法也会导致速度比较慢，因为在梯度下降法中，每一个样本都要参与运算。 _theta[1:] return self 7.2 随机 随机梯度下降法的优点 ? 7.2-1 7.3 梯度上升法 ? 7.3-1 ? 7.3-2 ? 7.3-3
1.2K30发布于 2018-09-12 - 来自专栏学弱猹的精品小屋
凸优化（4）——次梯度案例，加速梯度法，随机梯度下降法，近端梯度法引入
上一节笔记：凸优化（3）——梯度与次梯度：方法，性质与比较 ———————————————————————————————————————— 大家好！ 列出它的原因在于共轭梯度法也只使用了一阶信息，但是因为没有直接使用梯度，所以它不属于加速梯度方法。这里我们贴出《数值优化》第3和4节的链接，大家可以点进去了解共轭梯度法。 对于次梯度方法，我们这里使用波利亚步长（见《凸优化》第3节），这是因为波利亚步长计算简单，可以直接得到 。 那么关于随机梯度下降方法的步长，就没有固定步长的说法了，一般来说都考虑下降步长序列（见《凸优化》第3节）。为什么？ 再下一张图是观察次梯度方法与梯度方法在迭代进行过程中的极小值精度。我们上一节（也就是这一节反复出现过的《凸优化》第3节）有提到说，次梯度方法在精度上其实是比较一般的。
2.9K10发布于 2021-08-09 - 来自专栏深度学习之tensorflow实战篇
梯度下降VS随机梯度下降区别
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1.5K20发布于 2019-02-13 - 来自专栏blog-技术博客
梯度下降
梯度下降算法 梯度 函数上某一点的梯度是 向量，就是函数变化增加最快的地方。具体来说，对于函数f(x,y)，在点(x0，y0)沿着梯度向量的方向 : (df/dx0,df/dy0)的转置. 梯度下降算法 损失函数: J(w) w的梯度将是损失函数上升最快的方向,最小化loss ,反向即可 J(w_old) ---->J(w_old- k * ▽w_old的梯度)---->J( w_new) 方法 : 主要区别是每一次更新样本参数使用的样本个数是不同的 批量梯度下降 使用全部数据进行参数更新 w = w-k * ▽J(w) for i in range ,最后梯度可为0 随机梯度下降 w = w - k * ▽ J(w;xi;yi) 使用一个样本更新模型,速度快 for i in range(nb_epochs): np.random.shuffle SGD Momentum 基于动量的算法 前几次的梯度会参与到本次梯度的计算 原来:w = w - learning_rate * dw 现在: v = alpha
97430发布于 2020-05-11 - 来自专栏全栈程序员必看
SGD随机梯度下降_随机梯度法
在一个mini batch上的loss BGD 最原始的梯度下降算法，为了计算original-loss上的梯度，需要使用训练集全部数据 SGD （近似）计算original-loss梯度时，只使用一个 而SGD算法，每次随机选择一个mini-batch去计算梯度，在minibatch-loss上的梯度显然是original-loss上的梯度的无偏估计，因此利用minibatch-loss上的梯度可以近似 从引入randomness的角度来看，SGD中计算的梯度是对original-loss梯度的近似，相当于在original-loss梯度的基础上加了randomness，因此即使当前走到了original-loss 另一个角度，SGD计算的不是original-loss的梯度，而是minibatch-loss的梯度。 而SGD每次走的方向是minibatch-loss的负梯度方向（或者理解成original-loss的负梯度+randomness），显然这个方向和original-loss的负梯度方向不同，也就不是original-loss
1.2K10编辑于 2022-09-30 - 来自专栏杂七杂八
梯度下降
梯度下降（Gradient Descent）是在求解机器学习算法的模型参数（无约束优化问题）时，最常采用的方法之一 代价函数 提到梯度下降就不得不说一下代价函数。 代价函数 我们想要的结果是使这个函数最小，前面的1/2是为了在求导的时候方便计算 梯度下降 梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数J(θ0 ,θ1 ) 的最小值。 梯度下降原理：将函数比作一座山，我们站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快 ? 方法： 先确定向下一步的步伐大小，我们称为学习率Learning rate； 初始化参数的值 沿着负梯度方向去减小函数值并更新参数 当下降的高度小于某个定义的值或迭代次数超过一定限制，则停止下降； ? 梯度和偏导数都是向量，那么参考向量运算法则，我们在每个变量轴上减小对应变量值即可 ?
89950发布于 2018-04-27 - 来自专栏图像处理与模式识别研究所
梯度运算
IMREAD_UNCHANGED)#原始图像 kernel=np.ones((5,5,),np.uint8)#设置核kernel r=cv2.morphologyEx(o,cv2.MORPH_GRADIENT,kernel)#梯度运算 cv2.imshow("original",o) cv2.imshow("result",r) cv2.waitKey() cv2.destroyAllWindows() 算法：梯度运算是图像的膨胀图像减去腐蚀图像的操作 首先读取图像 进行腐蚀和膨胀操作 膨胀图像减去腐蚀图像，得到相减后的图像，获得梯度运算图像的结果 绘制前面两步生成的图片 对于膨胀图像A，腐蚀图像B： A-B={x|Bx⊆A} result=cv2.morphologyEx (img, cv2.MORPH_GRADIENT, kernel) img表示输入图像 cv2.MORPH_GRADIENT表示梯度运算 kernel表示梯度运算时所采用的结构类型 注意：此方法是基本梯度运算 ，基本梯度是膨胀图像减去腐蚀图像的差值；内部梯度是原图减去腐蚀图像的差值；外部梯度是膨胀图像减去原图的差值。
49210编辑于 2022-05-28 - 来自专栏计算机视觉理论及其实现
截断梯度
强非线性函数往往倾向于非常大或非常小幅度的梯度。这导致的困难是，当参数梯度非常大时，梯度下降的参数更新可以将参数抛出很远，进入目标函数较大的区域，到达当前解所做的努力变成了无用功。 一个简单的解决方案已被从业者使用多年：截断梯度(clipping the gradient)。此想法有不同实例。选择一种是在参数更新之前，逐元素地截断小批量参数梯度。 虽然参数更新与真实梯度具有相同的方向梯度，经过梯度范数截断，参数更新的向量范数现在变得有界。这种有界梯度能避免执行梯度爆炸时的有害一步。 如果爆炸非常严重，梯度数值上为Inf或Nan(无穷大或不是一个数字)，则可以采取大小为v的随机一步，通常会离开数值不稳定的状态。截断每小批量梯度范数不会改变单个小批量的梯度方向。 不像传统小批量梯度下降，其中真实梯度的方向是等于所有小批量梯度的平均。换句话说，传统的随机梯度使用梯度的无偏估计，而与真实梯度或小批量的梯度不再对齐，但是它仍是一个下降方向。
2.4K10编辑于 2022-09-03 - 来自专栏计算机视觉战队
梯度优化
批量梯度下降 普通的梯度下降，也称批量梯度下降，利用所有的训练数据计算目标函数的梯度。 ? 由于我们每进行一次参数更新需要计算整体训练数据的梯度，批量梯度下降会变得很慢并且一遇到内存吃不下数据就挂了。 值得注意的是先进的深度学习库提供对一些参数进行自动求导可以有效地计算梯度。如果你是自己来推梯度，梯度检查是一个不错的注意。本平台也推送过梯度求解过程。 带Momentum的SGD Momentum是一种帮助SGD在相关方向进行加速并抑制振荡的方法，如图3所示。它通过向当前更新向量中加入上一时刻的更新向量的部分实现上述功能。 ? ? watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70 watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70
98990发布于 2018-04-18 - 来自专栏全栈程序员必看
随机梯度下降优化算法_次梯度下降
the loss was 8.959668, best 8.959668 # in attempt 2 the loss was 9.044034, best 8.959668 # in attempt 3 策略 3：跟随梯度 在前一节中，我们试图在权重空间中找到一个方向来改进我们的权重向量（给我们一个更低的损失）。 original loss: %f' % (loss_original, ) # 查看不同步长的效果 for step_size_log in [-10, -9, -8, -7, -6, -5,-4,-3, 因此，在实践中，我们总是使用解析梯度，然后执行梯度检查，即将解析梯度与数值梯度进行比较。 我们引入了梯度下降算法，迭代地计算梯度，并在循环中执行参数更新。 斯坦福大学计算机视图课程，青星人工智能研究中心 翻译整理 1、数据驱动的图像分类方法 2、最近邻分类器 3、k – 最近邻分类器及使用验证集取得超参数 4、线性分类: SVM, Softmax 5、优化方法
94210编辑于 2022-09-30
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