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有限元 | 梁单元有限元程序算例
之前发过一个梁单元有限元分析程序。在好友测试时发现一个问题，就是程序中的real型变量默认为kind=4，我们姑且称为单精度型。 有限元计算精度取决于划分的单元，不同的划分得到的结果略有不同。
2K80发布于 2018-04-08 - 来自专栏数值分析与有限元编程
有限元类型
3 混合类型 以位移，应力作为独立自变函数，使用的变分原理是广义变分原理，如两类变量的赫林格-赖斯纳（Hellinger-Reissner）广义变分原理，这种单元称为混合单元。 当在变分原理中放松了应力边界条件和单元之间的应力平衡条件时，可以得到修正的余能原理，在此基础上可以建立杂交应力的有限元模型。
85540发布于 2018-04-08 - 来自专栏数值分析与有限元编程
有限元| 支座沉降
考虑一个有限元模型的势能泛函 \Pi = \frac{1}{2} \mathbf Q^T \mathbf K \mathbf Q - \mathbf Q^T \mathbf F \quad\cdots 建立两个单元的有限元模型如图1b所示，边界条件为 Q_1=0 和 Q_3=1.2mm ，结构刚度矩阵为 \mathbf K =\frac {20\times 10^3 \times 250 }{150} \\ R_3 &= -C(1.200015-1.2) = -10.001\times10^3\\ \end{split} 精确解为 R_1 =-50\times10^-3N , R_3 =-10\times10 用先处理法建立如图3所示的有限元模型，得到的平衡方程组为 ▲图3 \frac {29.5\times10^6}{600} \begin{bmatrix} 15.0 & 0& 0& 修正后的有限元方程组为 \frac {29.5\times10^6}{600} \begin{bmatrix} 15.0 & 0& 0& 0\\ 0 & 20.0+C&
45210编辑于 2024-04-17 - 来自专栏数值分析与有限元编程
有限元 | 有限元法计算刚架的临界荷载
相关公式见有限元 | 梁的弹性稳定分析(二) ▲图1 单元划分和结构标识 该刚架仅有 \text{BC} 杆受轴向压力作用,失稳时 \text{AC} 杆的变形曲线为精确的三次的抛物线。 因忽略杆件的轴向变形,当用先处理法分析时仅需列出结点未知位移如下 \boldsymbol{\Delta} = (\theta_2 \quad v_3 \quad \theta_3)^T 组装弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵 整体坐标系下，单元①的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵 \mathbf K = \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix} 4l^2 & 0 & 0 \\ 0 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} 单元②的弹性刚度矩阵放入整体弹性刚度矩阵 \mathbf K = \frac {EI}{l^3} F_P^{cr} = \frac {28.97EI}{l^2} 本问题临界荷载的精确值为 F_P^{cr} = \frac {28.4EI}{l^2} ，上述有限元解比精确值偏高约2%，原因是假定了单元的位移函数相当于增加了无形的约束
46810编辑于 2024-05-20 - 来自专栏仿真CAE与AI
有限元分析是什么？有限元分析优势
仿真中的有限元是什么？有限元分析究竟是做什么的？为了确认三维设计的最佳方案并进行验证，有限元分析是必须的。那么，什么是有限元分析呢？有限元分析是工程师解决工程问题的一种工具。 正确地运用有限元分析可以在仿真模型而不是实际原型上有效执行设计迭代。有限元分析的另一大优势在于，它可以揭示你在构建和测试过程中无法察觉到的信息。 然而，有限元分析可以清晰地显示挠度情况，这有助于您理解负荷传递路径，并以最高效的方式加强结构。有限元分析的基本步骤有限元分析的基本步骤通常为：第一步。 预处理，根据实际问题定义求解模型，包括以下几个方面：1.定义问题的几何区域：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域；2.定义单元类型；3.定义单元的材料属性；4.定义单元的几何属性，如长度、面积等 预处理是建立有限元模型，完成单元网格划分，这是有限元分析的基础前提；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
20110编辑于 2026-01-22 - 来自专栏数值分析与有限元编程
有限元 | 弹性支座
theta_1 \\ b_3 &= -3\omega_1 + 3\omega_2 + 2l\theta_1 + l\theta_2 \\ b_4 &= 2 \omega_1 -2\omega_2 - xi^2 -\xi^3 \\ N_3 &= 3\xi^2 -2\xi^3 \\ N_4 &= \xi^2 -\xi^3 \end{split} \quad \cdots (7) 记 \mathbf \begin{split} N_1(1) &= 1-3 + 2 = 0 \\ N_2(2) &= -1 + 2 -1 =0 \\ N_3(3) &= 3-2=1 \\ N_4(4) &= 1-1=0 ▲图3 对于图3所示得梁，弹簧刚度为 r= \frac {EI}{l^3} 。 只划分一个单元时，其有限元平衡方程为 \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix}12 & 6l & -12 & 6l \\ 6l & 4l^2 & -6l & 2l^2 \\ -12
38910编辑于 2024-04-10 - 来自专栏用户9688532的专栏
有限元法（FEM）
在这种情况下，通过内能（热）守恒方程，就可以导出在热源 g 的作用下，随着时间的小幅变化而发生的温度变化的方程式： （3） 在此， 表示密度，而 Cp 则代表热容量。 方程 (3) 表明，如果温度在随着时间而变化，则它必然会由热源 所平衡（或所引起）。此方程是用一个自变量（t）的导数所表示的一个微分方程。这种微分方程被称为常微分方程（ODE）。 在某些情况下，当某一时间的温度 t0 为已知时（称为初始条件），即可得到方程 (3) 的一个解析解，表达式如下： （4） 如此，该固体中的温度通过一个代数方程（4）来表示，其中的某个时间值 t1 就会有一个对应时间的温度值 在其余的边界上，热通量在向外的方向（∂Ω3）上为零。这些边界上的边界条件就成为： （11-13） 其中，h 表示传热系数，Tamb 表示环境温度。边界表面上向外的单位法向矢量由 n 表示。 来自之前的散热器模型图的有限元离散化。
2.6K20编辑于 2022-05-19 - 来自专栏数值分析与有限元编程
有限元 | 多点约束
▲图2 如图3所示的张弦梁结构，钢索和撑杆都是铰接于主梁。 在有限元模型中，梁、杆、索属于不同的单元类型，虽然这些结点具有相同的节点线位移，但截面转角不相同，此时我们可以在该处定义两个坐标一样的结点，然后指定这两个结点的线位移相等。 ▲图4 用两个单元对该问题进行建模，单元节点信息见下表 节点3、4处的边界条件为 Q_3=0 和 Q_4=0 。 选取一个远大于刚度系数的正数 C=53.33\times10^7 ，由于 Q_3=Q_4=0 ，将 C 加到 \mathbf K 中 K_{33} 和 K_{44} 的位置上。 这样一来自由度1和自由度3对应的线位移必须相等，就需要建立约束关系 u_1-u_3=0 选取一个远大于刚度系数的正数 C ，修正矩阵 K .由(1)知， \alpha=0,\beta_1=1,\beta
52110编辑于 2024-04-17 - 来自专栏CAE学习
初识非线性有限元
在有限元分析中，我们经常会和非线性打交道，如材料非线性、几何非线性、边界非线性。 非线性有限元一直是有限元中较为困难的一部分，在非线性有限元中我们经常碰到诸如Newton-Raphson迭代法，切线刚度阵等概念，今天我们就单的介绍一下非线性吧。 牛顿迭代法的思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解，具体操作如下： 牛顿迭代法图形解释 对于非线性方程f(x)= 的迭代解法有如下格式 3.非线性有限元迭代法 虽然上文只是简单的一维问题 ，但是我们可以把它当做位移法有限元的原型，对于一般有限元，离散平衡方程一般具有如下形式： 对于试探解、一般有 该方程的求解有如下形式 （1）直接迭代法 直接迭代法中要求K矩阵为u的显式函数 再来看看我们上面的问题： 非线性有限元及程序蓝色曲线为精确解，红色点点为固定载荷增量下求得的位移，k=1000时，牛顿迭代法能够很好地跟踪载荷位移路径，得到所有的位移响应。
1.6K10编辑于 2022-05-26 - 来自专栏数值分析与有限元编程
面向对象有限元编程|自定义有限元程序框架
在调用 math 模块中的函数sqrt时，必须这样引用：math.sqrt 有了模块，自定义有限元程序框架就方便了。 以下是自定义有限元程序框架CFEA，结构如下 CFEA |-- ModElements.py |-- ModMaterial.py |-- ModStruct.py |-- ModNumeric.py ModMaterial.py定义材料类，ModStruct.py定义有限元模型类，目前只有一个类。以后再定义由不同单元组成的结构类。ModNumeric.py定义求解器类。 = ModElements.Beam2DNode( 3, 9, 0, 1, 0, 0) #单元对象 elem1 = ModElements.Beam2D( 1, ) #有限元模型实例 ff = fm.getForceVector() KK = fm.getStructStiffnessMatrix() cls = ModNumeric.solver(KK, ff
1.1K30发布于 2021-03-25 - 来自专栏数值分析与有限元编程
连续梁有限元程序
平面刚架有限元分析需要建立单元坐标系和总体坐标系。现在单元坐标系建立单元刚度矩阵和等效节点力向量，再转换到总体坐标系，在总体坐标系下组装总体刚度矩阵和等效节点力向量。求解之后再还原到单元坐标系中。
1K40发布于 2018-04-08 - 来自专栏数值分析与有限元编程
开源有限元框架 FEniCS
对于做有限元分析的新手来说它不怎么友好，但对于大牛而言他确实是利器，犹如一把瑞士军刀。 一篇文献《FEniCS is highly overrated》也是吐槽这个软件是夹生饭，可点击阅读原文查看。
3.8K30发布于 2019-06-24 - 来自专栏仿真教程
设计中的有限元模拟
有限元模拟是基于有限元方法，并以此为依据设计组件，例如换能器外壳被分成较小的元素，在软件计算过程中，这些元素随后被叠加到整个系统中。 一旦设置了所有边界条件（例如轴承，压力），有限元软件便会计算并模拟整个外壳的测量结果。
75620发布于 2021-04-26 - 来自专栏数值分析与有限元编程
有限元分析软件ADINA
ADINA（Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis）软件是美国ADINA R＆D公司的产品，是基于有限元技术的大型通用分析仿真平台，广泛应用于各个工业领域 ADINA R＆D公司由世界著名的有限元技术专家K.J.Bathe博士及其同事于1986年创建，总部位于美国马萨诸塞州Watertown。 该公司专门致力于开发能够对结构、热、流体及流构（固）耦合、热构（固）耦合问题进行综合性有限元分析的程序——ADINA，从而为用户提供一揽子解决方案。 3、许可方式选择第二项：Floating-Industry ?
2.8K10发布于 2018-09-14 - 来自专栏数值分析与有限元编程
冰溜子的有限元模型
本文按照"模型简化-划分单元-组装整体刚度矩阵和整体节点力矩阵"的常规思路来建立冰溜子的有限元模型。 模型简化 对于一根悬挂的冰溜子，将其简化为一维线性变截面杆模型，荷载就是其自重。 比如，我们用四个单元来建立这根杆的模型，如图3a所示 ▲图3 图3b即为由此得到的4个单元5个节点的有限元模型。 \\ \end{bmatrix} 组装刚度矩阵 在一维问题中，每个节点只有一个自由度，图2b中的五个节点的有限元模型就有五个自由度。 {l_3})& 0& 0\\ 0 & 0& -\frac{A_3}{l_3}& (\frac{A_3}{l_3}+\frac{A_4}{l_4})& \frac _3\\ A_3l_3+A_4l_4\\ A_4l_4\\ \end{Bmatrix} 用"划行划列法"处理边界条件之后，得到的有限元平衡方程为 \begin{bmatrix} (\frac{A_1}
48410编辑于 2024-04-10 - 来自专栏数值分析与有限元编程
面向对象有限元编程|抽象
抽象(Abstraction)指的是“在事物的诸多特征中，保留解决问题所需的部分特征”这一过程。在面向对象编程中，创建类时就要对客观事物进行合理的抽象。假如对一台手机进行抽象，即创建一个手机类。手机的特征很复杂，如品牌、外观颜色、重量、屏幕尺寸、屏幕分辨率、电池电量、内存、SIM卡类型、网络模式、操作系统、CPU型号、上市日期等等。解决的问题不同，手机类的属性和方法也就不同。如果分析手机的耗电量，那么只需要屏幕尺寸、屏幕分辨率、电池电量以及CPU型号这些与问题相关的特征。而忽略其他特征，这就是进行抽象。
56220发布于 2020-10-10 - 来自专栏数值分析与有限元编程
简单问题的有限元模型
有限元模型如下图所示，平衡方程为 考虑边界条件,于是 解得 代入平衡方程可得，支座反力 杆系结构有限元分析有以下3个层次： (1)单元分析。 (3) 计算单元坐标系中的单元内力。将所求节点位移代入单元刚度方程，即可求出单元内力和支反力或者其他的结果。 (3) 计算单元坐标系中的单元内力。
67620编辑于 2022-04-18 - 来自专栏数值分析与有限元编程
有限元知识| 沙漏、零能模式
沙漏（hourglassing） 沙漏简单地说就是单元只有一个积分点，周边的节点可以随意变形。 发生的对象：一阶、减缩积分单元； 产生的结果：单元太柔； 解决方法： 1.对一阶减缩单元，合理细化网格；荷载避免使用点荷载； 2.在大应变区或大应变梯度区使用一阶单元，而不是使用二阶单元。 零能模式（zero-energy mode） 采用一阶减缩积分时会出现零能模式。即单元只有一个积分点，在受弯时该积分点没有任何的应变能，此时此单元没有任何刚度，就无法抵抗变形。 解决方法： 1.提供人工的“沙
3K70发布于 2018-04-08 - 来自专栏数值分析与有限元编程
开源有限元框架 deal.ii
一个triangulation对象不知道我们要在这个网格上使用的有限元的任何信息，它甚至都不知道它的单元的形状，它只知道2维时有4个面和4个顶点，三维时有6个面、12条边和8个顶点，其他信息都在映射类中定义 2）FiniteElement FiniteElement类用来描述定义在参考单元上的有限元空间（有限维的函数空间）的性质，比如单元的顶点、边界和内部有多少自由度，此外还给出了节点上形函数的值和梯度。 3）Quadrature Quadrature类与FinteElement类一起，在参考单元上定义，它们仅用来描述参考单元上积分点的位置和每个积分点的权重。 它也不知道它管理的自由度的形函数的信息，它只知道每个节点、每条边、每个单元内部有多少自由度 5）Mapping 当我们需要计算矩阵和右端项的元素或每一个triangulation单元上的某个值时，我们需要知道实际单元上的有限元形函数和积分公式的积分点位置 FEValues就提供这些信息：给定有限元、积分信息和映射，FEValues类计算"the restriction of a continuous function space"。
3.5K40发布于 2019-06-19 - 来自专栏仿真CAE与AI
从 0 到 1 认识有限元分析，有限元分析用的是什么原理？
随着科技的不断进步，有限元分析已成为工程设计中不可或缺的一部分。但是，你是否曾经好奇过，到底什么是有限元分析？它的原理又是怎样的？ 今天，我们就来一探究竟，带你揭开有限元分析的神秘面纱，让你轻松掌握这一强大的工程设计工具。 有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种用于求解复杂区域场的近似解的数值方法。 简单来说，有限元分析就是将一个复杂的问题简化，并通过数学方法求解简化后的问题，从而得到原问题的近似解。有限元分析的原理可以分为三个主要步骤：离散化、近似解和求解平衡方程。 掌握有限元分析的原理，将有助于我们在工程设计中更好地预测和优化产品的性能，为我们的设计提供更可靠的技术支持。
97110编辑于 2025-05-22
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