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【笔记】《计算机图形学》(5)——线性代数
不过在记笔记时多少也会参考一下中文版本 这一篇包含了原书中第五章的内容，也就是线性代数部分。这一章主要是对线性代数的回顾，以便下一章讨论变换矩阵的问题。 这一章内容比较少，我只记录了比较常用关键的地方，如果对线性代数掌握很好的话没有看的必要，要看也只需要看下最后的奇异值分解部分即可 5.1 行列式 行列式determinant，也叫决定式，是一个数 所谓的代数余子式就是去除了对应元素的行列后，剩余元素组成的子行列式乘上正负标记棋盘得到的新的值。这个算法是递归进行的，不断递归子行列式直到可以直接求出为止 ? 矩阵的求逆同样需要用到代数余子式。 首先由矩阵中每个元素的对应代数余子式组成的新矩阵的转置矩阵称为原矩阵的伴随矩阵，记为A*，而这个伴随矩阵数乘原矩阵行列式的倒数得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵，矩阵和它的逆矩阵相乘会得到单位矩阵I。 矩阵特征值和特征向量的计算在线性代数的学习中我们都很熟悉了，这里简单回顾下： 将上面的式子变形为下面的形式 ?
2.3K30发布于 2020-07-29 - 来自专栏mathor
逻辑代数
分析与设计数字电路的基础是逻辑代数，由英国数学家Geroge Boole在1847年提出的，故逻辑代数也称布尔代数。 在逻辑代数中，变量常用字母A，B，C，……，X，a，b，c，……，z等表示，变量的取值只能是0或1，这种变量称为逻辑变量。 逻辑代数中只有三种基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。
1.2K50发布于 2018-06-22 - 来自专栏人工智能
人工智能AI（5）：线性代数之矩阵、线性空间
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，详细的定义可以参考人工智能AI（2）：线性代数之标量、向量、矩阵、张量。
2K50发布于 2018-01-25 - 来自专栏数据结构与算法
线性代数学习笔记(代数版)
的时间复杂度内求出矩阵行列式的值 伴随矩阵 余子式： 将方阵的第\(i\)行和第\(j\)行同时划去，剩余的一个\(n - 1\)阶的矩阵的行列式值称为元素\(a_{ij}\)的余子式，通常记为\(M_{ij}\) 代数余子式 ： 元素\(a_{ij}\)的代数余子式为\(C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}\) 拉普拉斯展开 对于一个方阵\(A\)，\(A\)的行列式等于某一行所有元素的值乘上他们代数余子式 的和 即:\(|A| = \sum_{i = 1}^n a_{xi} C_{xi}\)，\(x\)是一个确定的行坐标，列同理 伴随矩阵 矩阵\(A\)的代数余子式矩阵是有每个元素的代数余子式构成的矩阵 矩阵\(A\)的伴随矩阵\(A*\)，是\(A\)的代数余子式矩阵的转置，即\(A* = C^T\) 对于可逆矩阵，满足 \(A* = |A|A^{-1}\) 其他的一些定义 线性空间 线性空间：一个非空集合
89740发布于 2018-07-27 - 来自专栏云霄雨霁
关系代数
关系代数的五个基本操作： 并（Union）：设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的并是由属于R或属于S的元组构成的集合，记为R∪S。 关系代数的四个组合操作： 交（Intersection）：由即属于R又属于S的元组构成的集合，记为R∩S。这里要求R和S定义在相同的关系模式上。 关系代数的七个扩充操作： 改名：改名运算符用ρS(A1,A2,...An)(R)表示。表示把关系R改名为S，S中的元组和R中一样，属性顺序为A1,A2,...An。 赋值：赋值运算符“←”，通过把临时变量赋值，可以把关系代数分开写，以把复杂的表达式化整为零，成为简单的表达式。注意：赋值操作不执行关系操作，仅仅是保存关系形式，该表达式可以重复使用。
2.3K11发布于 2018-05-30 - 来自专栏存储公众号：王知鱼
SPhotonix：5D光存储，探究AI时代数据永存之道
评估可持续存储方案：分析5D光学存储如何通过“千年寿命”和“零功耗”特性，为数据中心提供经济、环保的长期归档路径。 SPhotonix的5D光学存储技术，正试图用“千年记忆水晶”颠覆这一现状。它如何实现数据永存，并为数据中心带来可持续的未来？ SPhotonix公司的核心技术产品——“5D Memory Crystal”（5D内存水晶） SPhotonix的“5D内存水晶”技术，通过在材料、能耗和密度三个层面的根本性创新，提供了一个能解决当前归档存储所有核心痛点的方案 核心技术： 5D Memory Crystal™，能够在5英寸玻璃盘上存储高达360TB的数据，保存时间超过1000年，比其他商用产品长1000倍。 2. 考虑到数据访问频率的差异，您认为5D光存储与现有存储技术（如磁带库、云归档）的最佳结合点在哪里，如何构建混合存储架构以最大化效益？
51710编辑于 2025-10-09 - 来自专栏全栈程序员必看
线性代数投影矩阵的定义_线性代数a和线性代数b
一个矩阵 A A A既可以表示一种线性变换，又可以是一个子空间（由基张开的），还可以是一组坐标，甚是神奇。
96720编辑于 2022-11-09 - 来自专栏阮一峰的网络日志
布尔代数入门
布尔代数是计算机的基础。没有它，就不会有计算机。 布尔代数发展到今天，已经非常抽象，但是它的核心思想很简单。本文帮助你理解布尔代数，以及为什么它促成了计算机的诞生。 这就是布尔代数：计算命题真伪的数学方法。 五、布尔代数的运算法则 布尔代数的运算法则与集合论很像。 交集的运算法则如下。 20世纪初，英国科学家香农指出，布尔代数可以用来描述电路，或者说，电路可以模拟布尔代数。于是，人类的推理和判断，就可以用电路实现了。这就是计算机的实现基础。 六、布尔代数的局限 虽然布尔代数可以判断命题真伪，但是无法取代人类的理性思维。原因是它有一个局限。 它必须依据一个或几个已经明确知道真伪的命题，才能做出判断。 布尔代数只能保证推理过程正确，无法保证推理所依据的前提是否正确。如果前提是错的，正确的推理也会得到错误的结果。而前提的真伪要由科学实验和观察来决定，布尔代数无能为力。 （完）
1.4K60发布于 2018-04-12 - 来自专栏前端架构
代数拓扑集合拓扑代数拓扑拓扑关系拓扑结构_笔记
线空间关系3种：相离、相接、包含于； 点-面空间关系3种：相离、相接、包含于； 点-体空间关系3种：相离、相接、包含于； 线-线空间关系7种：相离、相交、交叠、相等、相接、包含于、包含； 线-面空间关系5种 ：相离、相接、进入、穿越、包含于； 线-体空间关系5种：相离、相接、进入、穿越、包含于； 面-面空间关系10种：相离、相接、交叠、相等、包含于、包含、覆盖、被覆盖、穿越、被穿越； 面-体空间关系8种：相离 转载本站文章《代数拓扑\集合拓扑\代数拓扑\拓扑关系\拓扑结构_笔记》, 请注明出处：https://www.zhoulujun.cn/html/theory/math/2019_0929_8164.html
2.8K11发布于 2019-12-10 【AI系统】代数简化
代数简化（Algebraic Reduced）是一种从数学上来指导我们优化计算图的方法。其目的是利用交换率、结合律等规律调整图中算子的执行顺序，或者删除不必要的算子，以提高图整体的计算效率。 代数化简可以通过子图替换的方式完成，具体实现：1）可以先抽象出一套通用的子图替换框架，再对各规则实例化。2）可以针对每一个具体的规则实现专门的优化逻辑。下面我们将介绍三种不同的代数简化方案。 算术简化顾名思义，算术化简就是通过利用代数之间算术运算法则，在计算图中可以确定优化的运算符执行顺序，从而用新的运算符替换原有复杂的运算符组合。我们给出结合律，分配律，交换律的例子。 注：当我们做代数简化时，一定要先注意到算子是否符合例如交换律，结合律等规则，例如矩阵乘法中 AB \neq BA 。
39100编辑于 2024-11-29- 来自专栏极客慕白的成长之路
关系代数运算方法
上次我们介绍的是关系模型的一些东西，而这次主要来讲关系代数 ? ---- 先上图，大家理解理解 ? ? 以下都以此举例 ? ? ? 1 五个基本操作 ?
90140发布于 2018-08-03 - 来自专栏魔术师卡颂
代数效应与React
React核心团队成员Sebastian Markbåge[1]（React Hooks的发明者）曾说：我们在React中做的就是践行代数效应（Algebraic Effects）。 那么，代数效应是什么呢？他和React有什么关系呢。 什么是代数效应 代数效应是函数式编程中的一个概念，用于将副作用从函数调用中分离。 接下来我们用虚构的语法来解释。 总结一下：代数效应能够将副作用（例子中为请求图片数量）从函数逻辑中分离，使函数关注点保持纯粹。 并且，从例子中可以看出，perform resume不需要区分同步异步。 代数效应在React中的应用 那么代数效应与React有什么关系呢？最明显的例子就是Hooks。 这就是代数效应中try...handle的作用。 其实，浏览器原生就支持类似的实现，这就是Generator。
1.4K40发布于 2020-08-26 - 来自专栏C语言
代数语言（基础）
代数语言（基础） 0.引言 本文介绍离散数学中代数语言的基础知识，以下三条是我们需要知道的： 代数的核心是运算。 运算是某个集合的运算。 运算要具有封闭性。
85110发布于 2021-03-03 - 来自专栏iOSDevLog
线性代数基础
的特征值的绝对值的最大值 范数作用 计算向量/矩阵相似程度 计算向量距离 迹 在线性代数中，一个 ? 一个矩阵的迹是其 特征值 的总和（按代数重数计算）。 线性变换 n 个向量 ? 与 m 个向量 ? 之间的关系 ? 表示从一个变量 ? 到变量 ? 的线性变换。 其中 ?
1.4K30发布于 2019-07-24 - 来自专栏数据结构与算法
抽象代数基础
抽象代数基础扫盲 发现自己真的是对代数一无所知啊qwq。 本文没有什么实际性的内容，都是一些基本定义 代数的发展历程 算术(arithmetic) 算术是数学中最古老的部分，算术的最大特点是关注具体数字 初等代数(elementary algebra) 初等代数是古老算术的推广和发展 ，在初等代数中开始用变量代替具体的数字，它的中心是解方程 抽象代数(abstract algebra) 初等代数与抽象代数的界限在于初等代数只考虑实数和复数代数结构 抽象代数、近世代数、现在代数指的都是同一个意思 抽象代数的主要研究对象是代数结构，包括群、环、域、向量空间 代数主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。 一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构。 线性代数(linear algebra) 初等代数到抽象代数的扩展 抽象代数相对于初等代数进行了许多推广。
1.6K10发布于 2019-03-22 - 来自专栏算法之名
线性代数整理向量
向量 线性代数是从研究一个数拓展到一组数 一组数的基本表示方法——向量(Vector) 向量是线性代数研究的基本元素 一组数的作用：最基本的出发点：表示方向 ? 在线性代数的世界里，起始点不重要 ? 在这个图中，从(-1,-1)到(3,2)和从(0,0)到(4,3)是一样的。它们只是坐标系不同而已。 public static void main(String[] args) { Attribute<Integer> vector = new Vector<>(new Integer[]{5,2 System.out.println(vector.len()); System.out.println(vector.get(0)); } } 运行结果 Vector{values=[5, 2]} 2 5 System.out.println(vector.len()); System.out.println(vector.get(0)); } } 运行结果 Vector{values=[5,
61930发布于 2020-11-03 - 来自专栏产品经理的人工智能学习库
线性代数（linear algebra）
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。 由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 查看详情 维基百科版本 线性代数是关于线性方程的数学分支，如 image.png 线性函数如 image.png 和他们通过矩阵和向量空间的表示。线性代数几乎是所有数学领域的核心。 例如，线性代数是几何的现代表示中的基础，包括用于定义基本对象，例如线，平面和旋转。此外，功能分析基本上可以视为线性代数在函数空间中的应用。 线性代数也用于大多数科学和工程领域，因为它允许对许多自然现象进行建模，并使用这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，线性代数通常用作一阶近似。 查看详情
1.1K10发布于 2019-12-18 - 来自专栏计算机视觉SLAM情报站
线性代数的艺术
最近，一位日本老哥将MIT大佬 Gilbert Strang 的线性代数课程中关于矩阵的各种操作进行了可视化，下图就是他发布的推文，项目名为“The Art of Linear Algebra” .
2.1K30编辑于 2022-12-31 - 来自专栏BioIT爱好者
线性代数知识汇总
最近在磕 PCA 主成分分析的原理，在理解协方差矩阵的特征向量和特征值部分，对其计算的数学原理的理解上碰到了不少关于线性代数的问题，而在大学时期接触的线性代数到现在都已经忘得七七八八。 看到数学算法俱乐部的这篇线性代数总结，非常不错，作为 PCA 原理的基础知识，这里分享一下。后面有空再给大家总结一下个人在学习 PCA 主成分分析的一些理解。 算法数学之美 日期：2019年5月24日 正文共：2295字135图 预计阅读时间：6分钟 来源：king110108 1. 线性代数知识图谱 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和. 齐次线性方程组的相关定理 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 1.
2K30发布于 2021-10-15 - 来自专栏SQL Server碎片化知识
御财宝：浅谈代数优化
1.代数优化 代数优化是对查询进行等价交换，以减少执行的开销。所谓等价是指变换后的关系代数表达式与变换前的关系代数表达式所得到的结果是相同的。 （1）等价变化规则 将一个关系代数表达式转换为另一个等价的能更有效执行的表达式。 尽可能先做选择和投影操作，再做连接操作。 在连接时，先做小关系之间的连接，再做大关系的连接。 1）多重选择（σ） image.png 2）选择（σ）的交换律 image.png 3）多重投影（∏） image.png 4）选择（σ）与投影（∏）的交换 image.png 5）连接和笛卡尔积（x） image.png （2）启发式规则 1）选择运算应尽可能先做； 2）在执行连接前对关系进行适当地预处理； 3）投影运算和选择运算同时进行； 4）投影同其前或其后的双目运算（并、交、差）结合起来； 5） 如果比例较小（例如比例小于15%），可用非聚集索引，否则只能用聚集索引或顺序扫描； 4）对于范围条件查询，一般先通过索引找到范围的边界，再通过索引的有序集沿相应的方向进行搜集； 5）对于用and连接的合取选择条件
1.4K30发布于 2021-07-28
腾讯云开发者
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