随机游走外边界在自然参数化下的收敛

高一帆，李欣意，刘润声，刘向益，Daisuke Shiraishi

我们在Science China Mathematics近期在线发表的文章[10]中证明了，二维随机游走外边界(random walk frontier)在自然参数化(natural parametrization)意义下收敛到布朗运动外边界(Brownian frontier)。作为中间结果，我们也证明了离散外边界的占据测度(occupation measure)收敛到布朗运动外边界的4/3-Minkowski容度。

二维布朗运动外边界(Brownian frontier)是刻画二维布朗运动重分形结构(multi-fractal structure)的基本对象之一。早在1982年，Mandelbrot就猜想其Hausdorff维数为4/3（参见[1]）。这一猜想随后由Lawler、Schramm与Werner等人在2001年至2002年的一系列开创性工作中，借助Schramm-Loewner演化(Schramm-Loewner evolution,SLE)的方法严格证明（参见[2-6]）。相关工作的进一步发展逐步揭示了布朗运动外边界与SLE8/3之间的深刻联系。

由于随机游走的尺度极限是布朗运动，一个自然的问题是：随机游走外边界(random walk frontier)是否也在几何和参数化层面上收敛到布朗运动外边界？作为重要进展，van de Brug、Camia与Lis在2016年证明了，在合适设定下，随机游走外边界在Hausdorff意义下收敛到布朗运动外边界（参见[7]）。这一结果刻画了离散与连续外边界在几何形状层面的一致性，是目前该问题中最强的几何收敛结果之一。

然而，在现代随机几何理论中，人们往往希望得到比Hausdorff收敛更强的结果，即在自然参数化(natural parametrization)意义下的收敛。粗略来说，自然参数化意义下的收敛，要求离散曲线的时间参数化与连续极限曲线的Minkowski容度相匹配，从而不仅描述曲线在点集意义下的几何极限，还描述曲线“如何随时间生长”。在多个模型中，自然参数化已成为理解随机曲线精细结构的核心工具，例如消圈随机游走(loop-erased random walk, LERW)在自然参数化下收敛到SLE2（参见[8]），以及临界渗流界面(critical percolation interface)在自然参数化下收敛到SLE6（参见[9]）。

我们在Science China Mathematics 发表的工作[10]中，进一步推进了随机游走外边界的收敛理论，证明了

定理1 在Skorokhod嵌入下，二维随机游走外边界在自然参数化意义下收敛到布朗运动外边界。

作为中间结果，我们还证明了

定理2 在Skorokhod嵌入下，离散随机游走外边界的占据测度(occupation measure)弱收敛到布朗运动外边界的4/3-Minkowski容度。

这意味着，在已有Hausdorff意义下几何收敛结果的基础上，我们进一步在自然测度与时间参数层面建立了离散与连续外边界的严格对应，从而在随机游走外边界这一经典随机对象上，实现了从Hausdorff收敛到自然参数化收敛的提升。

在证明方法上，我们没有直接依赖SLE理论，而是采用了更为概率论导向的技术路线。首先，我们通过Skorokhod嵌入将随机游走与布朗运动构造在同一概率空间中，实现离散路径与连续路径的耦合。在此基础上，我们建立了随机游走外边界点与外边界球事件的精确一点估计和两点估计，并引入外边界格林函数来刻画其渐近行为，从而证明离散占据测度在弱收敛意义下收敛到布朗运动外边界的4/3-Minkowski容度。随后，我们利用Aizenman和Burchard关于随机曲线族 Hölder正则性与紧性的判别准则（参见[11]），得到曲线形状的几何收敛，再与测度收敛相结合，从而把Hausdorff意义下的收敛提升为自然参数化意义下的收敛。

从更广阔的视角看，自然参数化与Minkowski容度在Schramm-Loewner演化、共形环系(conformal loop ensemble, CLE)以及现代随机几何理论中发挥着越来越重要的作用，是刻画随机曲线精细结构的关键概念。我们期待，随机游走外边界在自然参数化下的收敛，能够为理解自回避游走(self-avoiding walk, SAW)、外边界与SLE8/3之间的关系提供新的视角。

【参考文献】

[1] Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1982

[2] Lawler G F, Schramm O, Werner W. The dimension of the planar Brownian frontier is 4/3. Math Res Lett, 2001, 8(4): 401-411

[3] Lawler G F, Schramm O, Werner W. Values of Brownian intersection exponents, I: Half-plane exponents. Acta Math, 2001, 187(2): 237-273

[4] Lawler G F, Schramm O, Werner W. Values of Brownian intersection exponents, II: Plane exponents. Acta Math, 2001, 187(2): 275-308

[5] Lawler G F, Schramm O, Werner W. Values of Brownian intersection exponents III: Two-sided exponents. Ann Inst Henri Poincaré Probab Stat, 2002, 38(1): 109-123

[6] Lawler G F, Schramm O, Werner W. Analyticity of intersection exponents for planar Brownian motion. Acta Math, 2002, 189(2): 179-201

[7] van de Brug T, Camia F, Lis M. Random walk loop soups and conformal loop ensembles. Probab Theory Relat Fields, 2016, 166: 553-584

[8] Lawler G F, Viklund F. Convergence of loop-erased random walk in the natural parametrization. Duke Math J, 2016, 170(10): 2289-2370

[9] Holden N, Li X, Sun X. Natural parametrization of percolation interface and pivotal points. Ann Inst Henri Poincaré Probab Stat, 2022, 58(1): 7-25

[10]Gao Y F, Li X Y, Liu R S, et al. Convergence in natural parametrization of random walk frontier. Sci China Math, 2026, 69, https://doi.org/10.1007/s11425-025-2470-2

[11] Aizenman M, Burchard A. Hölder regularity and dimension bounds for random curves. Duke Math J, 1999, 99(3): 419-453

作者简介

李欣意，北京大学北京国际数学研究中心副教授。2016 年获瑞士苏黎世联邦理工学院数学博士学位，2016-2019 年任芝加哥大学L. E. Dickson Instructor。主要从事概率论、随机分形与随机几何方向的研究。

高一帆，2022年博士毕业于北京大学，现任西湖大学理论科学研究院助理教授。主要研究方向为概率论和统计物理。

刘润声，北京大学数学科学学院2022级博士研究生，研究方向为概率论与随机几何。

刘向益，北京大学数学科学学院2024级博士研究生，研究方向为概率论与随机几何。

Daisuke Shiraishi，京都大学信息学研究生院(Graduate School of Informatics, Kyoto University)副教授，研究方向为随机几何、随机游走、消圈随机游走、随机分形等。