高斯的Numpy FFT不给出高斯

Question

根据我的好朋友Wolfram的说法，一个高斯在时间/空间域中的傅立叶变换在频率/谱域中得到另一个高斯。当我使用numpy.fft.fft例程对此进行测试时，我并没有得到我所期望的结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 1000    # Number of samples
a = 10.0    # Inverse variance
x = np.linspace(-5, 5, N)   # Spatial domain
y = np.exp(-a*x**2)         # Gaussian in spatial domain

dx = x[1] - x[0]            # Sampling rate
k = np.fft.fftfreq(N, dx)   # Wave numbers
inds = np.argsort(k)        # Sorting order of wave numbers

# Analytical solution for Fourier transform of y
y_hat = np.sqrt(np.pi / a) * np.exp(-np.pi**2 * k**2 / a)
# Numerical solution (FFT of y)
y_hat2 = np.fft.fft(y)

# Plot original function in spatial domain
plt.subplot(211)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("position [m]")
plt.ylabel("y")

# Plot solutions in the spectral domain
plt.subplot(212)
plt.plot(k[inds], np.real(y_hat2[inds]), label="Real FFT(y)")
plt.plot(k[inds], np.imag(y_hat2[inds]), label="Imag FFT(y)")
plt.plot(k[inds], y_hat[inds], "k--", label="Analytical")
plt.xlabel("wave number [1/m]")
plt.ylabel("FFT(y)")
plt.ylim((-1, 1))
plt.xlim((-5, 5))
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

结果：

​

事实证明，y的快速傅立叶变换的虚部是非零的，而实部在0附近疯狂振荡，这两种情况都不是解析解所期望的。有人能给我解释一下为什么会这样吗？

Answer 1

对于严格实数的规范FFT结果，输入必须围绕FFT输入数组中的第一个元素(循环)对称。您的输入似乎是围绕输入数组的中间对称的，这将调整FFT结果(时移属性)。

尝试FFTShift操作。