bnlearn如何计算连续数据的BIC？

Question

我在R中使用bnlearn包，我想知道这个包是如何计算BIC-g (高斯分布中的BIC )的。

让我们建立一个结构，我可以找到BIC分数，如下所示

library(bnlearn)
X = iris[, 1:3]
names(X) = c("A", "B", "C")
Network = empty.graph(names(X))
bnlearn::score(Network, X, type="bic-g")

bnlearn为我提供了关于如何计算这个分数的更详细的信息，

bnlearn::score(Network, X, type="bic-g", debug=TRUE)

这就导致了

----------------------------------------------------------------
* processing node A.
  > loglikelihood is -184.041441.
  > penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
----------------------------------------------------------------
* processing node B.
  > loglikelihood is -87.777815.
  > penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
----------------------------------------------------------------
* processing node C.
  > loglikelihood is -297.588727.
  > penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
[1] -584.4399

我知道如何计算贝叶斯网络中离散数据的BIC，参考here。但我不知道它如何推广到联合高斯(多变量正态)的情况。

当然，这可能与近似似然和惩罚项有关，似乎软件包过程计算每个节点的可能性和惩罚，然后对它们求和。

bnlearn::score(Network, X, type="loglik-g", debug=TRUE)

但我想知道，在给定数据的情况下，我如何具体计算可能性和惩罚。

我找到了解释Laplace Approximation的material (请参阅第57页)，但我无法将其联系起来。

有谁能帮帮我吗？

Answer 1

BIC的计算方式为

BIC = -2* logLik + nparams* log(nobs)

但在bnlearn中，这被重新缩放到-2 (参见?score)，以给出

BIC = logLik -0.5* nparams* log(nobs)

因此，对于您的示例，在没有边的情况下，使用边际均值来计算似然率，而误差(或者更一般地，对于每个节点，参数的数量是通过将1(截取)+1(残差)+父节点的数量相加得到的)，例如

library(bnlearn)
X = iris[, 1:3]
names(X) = c("A", "B", "C")
Network = empty.graph(names(X))

(ll = sum(sapply(X, function(i) dnorm(i, mean(i), sd(i), log=TRUE)))) 
#[1] -569.408
(penalty = 0.5* log(nrow(X))* 6)
#[1] 15.03191

ll - penalty
#[1] -584.4399

如果存在边缘，则使用拟合值和残差计算对数似然。对于网络：

Network = set.arc(Network, "A", "B")

我们需要来自节点A和C的对数似然分量

(llA = with(X, sum(dnorm(A, mean(A), sd(A), log=TRUE))))
#[1] -184.0414
(llC = with(X, sum(dnorm(C, mean(C), sd(C), log=TRUE))))
#[1] -297.5887

我们从线性回归中得到B的条件概率

m = lm(B ~ A, X)
(llB = with(X, sum(dnorm(B, fitted(m), stats::sigma(m), log=TRUE))))
#[1] -86.73894

给予

(ll = llA + llB + llC)
#[1] -568.3691
(penalty = 0.5* log(nrow(X))* 7)
#[1] 17.53722
ll - penalty
#[1] -585.9063 

#  bnlearn::score(Network, X, type="bic-g", debug=TRUE)
# ----------------------------------------------------------------
# * processing node A.
#    loglikelihood is -184.041441.
#    penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
# ----------------------------------------------------------------
# * processing node B.
#    loglikelihood is -86.738936.
#    penalty is 2.505318 x 3 = 7.515953.
# ----------------------------------------------------------------
# * processing node C.
#    loglikelihood is -297.588727.
#    penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
# [1] -585.9063