自定义Python蒙特卡罗积分函数低估了多维积分

Question

我需要创建一个自定义的蒙特卡罗集成函数，以适应使用NumPy的自定义多维分布对象。我需要它在每个维度中集成相同的值。它在单个维度上工作正常，但在多个维度上低估了，随着维度的增加，情况会变得更糟。我正在使用这个paper (方程式5)作为指导。我的体积*平均密度公式是错误的吗？我的抽样方法有误吗？我真的不知道错误是什么。

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

# Set up distribution parameters.
dim = 3
loc = np.repeat(0., repeats=dim)
scale = np.repeat(1., repeats=dim)

# Initialize a multivariate normal distribution.
mvn = multivariate_normal(mean=loc, cov=scale)

def mc_integrator(distribution, dim, support, size=1000, seed=0):
    """
    Parameters
    ----------
    distribution : function
        A probability density function.
    dim : int
        The number of dimensions of the distribution.
    support : list
        List of the low and high values of the hypercube to integrate over.
    size : int, optional
        Number of samples used for estimation. The default is 1000.
    seed : int, optional
        A random seed for reproducibility. The default is 0.

    Returns
    -------
    float
        The estimate of the integral over the hypercube.
    """
    # Set the random seed.
    np.random.seed(seed)
    # Separate the elements of the support.
    a, b = support[0], support[1]
    # Calculate the volume of the hypercube.
    volume = (b-a)**dim
    # Generate random samples of the appropriate shape.
    samples = np.random.uniform(low=a, high=b, size=(size,dim))
    # Return the estimate of the integral.
    return volume*np.mean(distribution(samples))

# Set the number of samples to use for estimation.
size = 10000
# Set the low and high value over each dimension of the hypercube.
support = [-2, 2]
# Print the estimate of the integral.
print(mc_integrator(mvn.pdf, dim, support, size=size))
# Print the exact value of the integral.
print(mvn.cdf(np.repeat(support[1], dim))-mvn.cdf(np.repeat(support[0], dim)))

Output: 0.8523870204938726
        0.9332787601629401

Answer 1

约翰，总体上看起来不错，但在我看来，你没有正确计算出预期的结果。我认为预期的结果应该是(F(2) - F(-2)^3，其中F是均值为0和方差为1的高斯cdf。对于F(2) - F(-2)，我得到的erf(sqrt(2))约为0.9545，然后(F(2) - F(-2))^3为0.8696，这与您的结果非常吻合。

我不知道mvn.cdf应该返回什么，但"cdf“的概念在多个维度上都有点可疑，所以也许你可以避开它。

关于多维积分，你通常会提到使用Halton序列。我认为这也是一个有趣的想法。我计算积分的经验是使用一维或二维的求积规则，使用3到几个(5? 7？)的低偏差序列。我不知道)，和MC在更多。哦，还有，我的建议是，在求助于数值近似之前，要努力获得准确的结果。

我很有兴趣听听你在做什么。