差分隐私：$\epsilon >1美元时的高斯机制，$\epsilon =0美元时的Laplace机制

Question

在差分隐私资源中，\epsilon, \delta的限制情况是不够合理的。

例如，在维基百科上，据说高斯机制只在\epsilon < 1时起作用。然而，任何满足高斯机制，例如(0.1, \delta)-differential隐私，已经满足(1, \delta)-differential隐私，或(5^{100}, \delta)-differential隐私，我是正确的吗？

类似地，在某些资源中，DP的定义是针对\epsilon \geq 0 的，但随后有人声称Laplace机制为任何\epsilon实现了(\epsilon, 0)-differential隐私。然而，\epsilon = 0呢？在这种情况下，没有定义具有密度\propto 1/\epsilon的Laplace分布。我们是否有任何满足(0,0)-differential隐私的加性机制？

编辑:我的理解如下。不存在加性噪声机制，可以用\epsilon = 0 , \delta = 0实现DP。这是不可能的，因为我们添加了一些噪声(当然，假设灵敏度不是0，在这种情况下，我们甚至不需要添加噪声)。此外，Laplace机制使用\epsilon>0,\delta = 0实现了DP，这意味着任何\epsilon>0,\delta \geq 0都是可能的。另一方面，高斯机制需要\epsilon, \delta > 0，因此在Laplace情况下，这并不是从可行性(即什么是可实现的，什么是不可实现的)的角度来概括的。因此，我认为唯一的含糊不清之处是:我们是否有一种通过\epsilon = 0和任何\delta > 0实现DP的加性机制？

Answer 1

在高斯机制情况下，区分使用\epsilon参数化高斯分布和用它来量化微分隐私级别是非常重要的。对于任何0<\epsilon<1和0<\delta<1，我们都可以构造一种增加噪声分布的机制。

\mathcal N(0,2\log(5/4\delta)(\Delta f)^2/\epsilon^2)

然后，我们有一个统计保证，这提供了(\epsilon,\delta)-differential隐私，实际上也为任何\epsilon'\ge\epsilon和\delta'\ge\delta提供了(\epsilon',\delta')-differential隐私。但是，如果(例如)我们以\epsilon=2和\delta=1/2为例，尽管我们仍然可以构造一个噪声函数

\mathcal N(0,2\log(5/2)(\Delta f)^2/4),

我们不能用这个定理来说我们有(2,0.5)-differential安全性。维基百科试图用高斯结构来表达什么是可证明的，而不是限制差别隐私的含义范围。

类似地，在拉格朗日情况下，没有为\epsilon=0定义构造，因此不能使用此参数。同样，这是对拉格朗日结构的限制，而不是对差别隐私含义范围的限制。

就(0,0)-differential隐私而言，这意味着我们的算法\mathcal A为所有数据集生成相同分布的输出。这意味着\mathcal A与数据集无关，不能通过向数据集相关算法添加噪声来建模。