生日悖论概率的推导

Question

我正试图想出一个关于生日碰撞概率的解释。

P(t人之间无碰撞)= (1− \frac{1}{365}) · (1-\frac{2}{365}) ··· (1-\frac{t-1}{365})

对于一个人来说，没有碰撞的概率是1，这是微不足道的，因为一个生日不能与其他人的生日发生碰撞；对于第二个人来说，没有碰撞的概率是364 / 365，因为只有一天，即第一个人的生日，与之碰撞的时间是：P(2人之间没有碰撞)= (1− \frac{1}{365})，如果一个第三方加入了聚会，他或她可以与已经在那里的两个人发生碰撞，因此：P(两人之间没有碰撞)= (1− \frac{1}{365})·(1−\frac{2}{365})。

虽然很清楚我们是如何得到两个人碰撞的概率的，但对于我来说，如何得到3个人之间的碰撞概率，这是不直观的。我预计概率会是(1−\frac{2}{365})。例如，当您掷骰子时，6的概率是\frac{1}{6}，而5或6的概率是\frac{2}{6}。在生日碰撞中，似乎不是\frac{1}{6}·\frac{2}{6}。

如果能给出一个直观的解释，我将不胜感激。

Answer 1

当一个人在房间里一个一个地进入t的时候，这个概率就变得更直观了。

在第一个人进入之前，没有碰撞/出生日期的巧合，因此没有碰撞的概率是P_0=1。

当第一个人进入时，不可能有出生日期的碰撞/巧合，没有碰撞的概率是P_1=1。

当第二个人进入时，在365中有一个机会，他/她的生日与第一个人的生日相同，因此没有碰撞的概率是P_2=1-\frac1{365}。

当第三人进来的时候

• 前一阶段发生碰撞，无碰撞的概率为0；

• 或者在前一阶段没有碰撞，所以房间里有不同出生日期的2人，而第三人有一个出生日期的概率是2 in 365，因此没有碰撞的概率是1-\frac2{365}。

第三人进入后不碰撞的总概率是通过将这两个概率按概率条件加权得到。因此，我们有P_3=(1-P_2)\,0+P_2\,\bigl(1-\frac2{365}\bigr)，因此P_3=\bigl(1-\frac1{365}\bigr)\bigl(1-\frac2{365}\bigr)

同样的推理给了P_{i+1}=(1-P_i)\,0+P_i\bigl(1-\frac i{365}\bigr)，也就是P_{i+1}=P_i\bigl(1-\frac i{365}\bigr)。

它来自于P_t=\displaystyle\prod_{i=0}^{t-1}\,\Bigl(1-\frac i{365}\Bigr)。

有关在数字很大的加密上下文中使用的公式的派生，请参见我的密码散列的生日问题，101。

注意：P、t和365在这里有q、n和k。

Answer 2

不久前，我对这个问题做了详细的研究。

所以问题是

“你需要多少人在一个房间里过生日是50%？”

我们知道，对于m=2，我们需要n=23的人，所以他们中的任何两个分享生日的概率都是50%。

假设我们找到了n，那么m=3人共享生日的概率是50%。

我们将计算出n中有3个人不共享生日，并从1中减去这个概率。

• 所有的人都有不同的生日。
• 1对(2人)共享生日，其余的n-2有不同的生日。
  • 可以选择1对(2人)的方式数= C(n，2)
  • 这双鞋能用365天中的任何一天。
  • 对于这些n-2人，他们可以选择365-1个生日。

• 接下来，我们使2组2人，rest n-4具有不同的birthday.，这样，我们可以递归地创建更多的组，并找到所有可能的组合，其中m人不共享生日。

https://medium.com/@c0D3M/birthday-paradox-3fd2f0f6c5a0