参数连续性和几何连续性

Question

我们知道，在参数连续性中，C^1连续性是两个连续曲线截面，C_1和C_2具有一次参数导数是相同的。这意味着切线向量t_1对于C_1和C_2都是相同的，具有相同的方向和相同的幅度。就像C_1'(t=1)=C_2'(t=0).

困惑:1我的问题是上面的图像对C^1连续w. r. t切线t_1 of C_1和C_2?是正确的。

但几何连续性、G^1连续性是两个连续的曲线截面，C_3和C_4具有一次参数导数是成正比的。这意味着切线向量t_2和t_3对于两个曲线段C_3和C_4具有相同的方向，它们的大小可能是相同的，也可能不是相同的。喜欢：C_3'(t=1)=(a,b,c),C_4'(t=0)=(ka,kb,kc).

这意味着两个切线t_2和t_3是平行的。比如：

混淆:2我的问题是上面的图像是正确的，以显示切线t_2和t_3对曲线剖面C_3和C_4?的平行度。

我们知道C^1和G^1连续性分别表示C^0和G^0。但请阅读(如下图所示)显示C^1和G^1连续性的互联网，但C^0和G^0连续性不起作用，因为

r(t=1) =(-1,1) {\neq}n(t=0)=(1,1).

困惑:3我的问题是，我怎样才能说C^1或G^1的连续性保持不变，尽管C^0和G^0没有保持？

Answer 1

我宁愿画一个类似于这样的G_1例子：

这清楚地表明，t_2和t_3是并行的，但在一般情况下有不同的长度。(它们都是从同一点开始的，但t_3更长。)你画它的方式，他们有相同的长度，但略有不同的方向-他们看起来不完全平行。

C^k#qcStackCode#光滑类的标准定义意味着任何C^k都包含在所有编号较低的类C^{k-1}, C^{k-2}, \ldots, C^0中。因此，如果曲线在C^k中，那么它也在所有的低级类中，一直到C^0。你找到的那本书是个坏例子。它的符号看起来也不一致/错误，从你张贴的，所以我不会过分相信那本书。

Answer 2

是的，您对C1和G1的理解(如您的绘图所示)大致正确：C1表示相等的导数向量，G1表示并行的导数向量。

我说“粗略”是因为当导数向量的长度为零时有一些微妙之处。但这是一个对概念理解没有多大影响的角落案例。

关于你的最后一个问题:当然，写书籍、论文和网络文章的人可以自由地给出他们想要的定义。但是我认为大多数人会定义一个曲线关节为C1，如果位置和一阶导数向量都匹配的话。换句话说，大多数人都会定义C1来包含C0。