射影固体角度$dA^\perp$项在辐射定义中的目的是什么？

Question

在“亮度”的定义中，根据PBRT定义为

单位固体角d\omega /单位投影面积dA^\perp通量

L_i=\frac{d\Phi}{d\omega\ dA^\perp}

我最初的假设是，dA^\perp项被用来削弱由于入射角引起的辐照度贡献(我假设这只是Lambert的余弦定律)。然而，在呈现方程中，我们已经用\cos\theta术语显式地应用了兰伯特定律：

\int_\Omega L_i(\omega_{i}) \, f_r(\omega_{i}\rightarrow \omega_{o}) \, \cos\theta_{i} \, d\omega_{i}

我假设我们不会两次应用兰伯特定律，那么这个dA^\perp项到底是什么呢？

Answer 1

你的主要想法或多或少是正确的。投影面积测度dA^\perp = dA\cos(θ)中隐藏的余弦补偿了入射角(兰伯特余弦定律)对辐照度的减弱。这使得辐射与入射角无关。我的猜测是，主要的动机是让它更实用的工作。

呈现方程中的余弦来自BRDF的定义：

f_{r}\left(\omega_{i}\rightarrow\omega_{o}\right) =\frac{\mathrm{d}L_{o}\left(\omega_{o}\right)}{\mathrm{d}E\left(\omega_{i}\right)} =\frac{\mathrm{d}L_{o}\left(\omega_{o}\right)}{L_{i}\left(\omega_{i}\right)\mathrm{d}\sigma^{\bot}\left(\omega_{i}\right)} =\frac{\mathrm{d}L_{o}\left(\omega_{o}\right)}{L_{i}\left(\omega_{i}\right)\cos\theta_{i}\mathrm{d}\omega_{i}}

可以重写为

\mathrm{d}L_{o}\left(\omega_{o}\right) =f_{r}\left(\omega_{i}\rightarrow\omega_{o}\right) L_{i}\left(\omega_{i}\right) \cos\theta_{i} \mathrm{d}\omega_{i}

它可以在半球上进行积分，得到一个给定方向的\omega_o反射的亮度。

\int_\Omega f_{r}\left(\omega_{i}\rightarrow\omega_{o}\right) L_{i}\left(\omega_{i}\right) \cos\theta_{i} \mathrm{d}\omega_{i}

看，渲染方程！

结论:虽然这两种余弦来自相同的基本原理，但它们的用途不同。

Answer 2

既然你似乎想要一个辐照度的解释，那么请同时考虑辐射度和辐照度的定义：

E = \frac{d\Phi}{dA}, \quad L = \frac{d^2\Phi}{d\omega dA^{\perp}}

我们可以把辐射度的定义重订为：

d^2\Phi = L \cos\theta d\omega dA

在实心角d\omega (在Lebesgue-Stieltjes的意义上)上，两边的积分产生：

d\Phi = dA \int_{\Omega}{L\cos\theta d\omega}

因此：

E = \frac{d\Phi}{dA} = \int_{\Omega}{L\cos\theta d\omega}

所以你可以把辐照度看作是相对于固体角度测量的亮度的积分，反之亦然，你可以认为辐射度是相对于固体角度测量的辐照度的导数。其他答案也提供了与呈现方程的链接。所以不，你没有余弦两次。虽然你要重写渲染方程的面积公式，你确实得到了另一个余弦项(这是由于一个微分面积贴片投影到半球)。这使用了以下关系：

d\omega = \frac{\cos\theta_y}{r^2}dA(y)

然后，可以将呈现方程重写为：

L_o(x_0 \rightarrow x_{-1}) = \int_{S}{f(x_1 \rightarrow x_0 \rightarrow x_{-1}) L(x_1 \rightarrow x_0) \cos\theta_{x_0} \frac{\cos\theta_{x_1}}{||x_1-x_0||^2} V(x_0,x_1) \,dA(x_1)}

在这里，可见性项V(x_0,x_1)出现，因为它最初是隐含在固体角度公式。这是因为你不能在点x_0和x_1之间的直线上获得亮度，如果在中间有一个封堵器，这是在固体角度公式中自动处理的，使用L_i(x_0,\omega = x_0 \rightarrow x_1)，它给我们从\omega方向到达x_0的亮度，请注意，这是考虑到第一个点，从这个辐射到达，而不是具体的x_1。形式上是L_i(x_0, \omega) = L(r(x_0,\omega), -\omega))，请注意光线投射操作符r，其中的可见性项是隐式隐藏的，因为如果中间有遮挡，则为r(x_0,x_0 \rightarrow x_1) \ne x_1。

Answer 3

这两个余弦项基本上指的是缩短效应，即：

落在贴片上的辐照度必须通过贴片与光源夹角的余弦来修正。

从辐照度的定义来看：

辐照度是单位面积的通量，因此：

重新排序：

它是辐射度的定义，具有与辐照度定义相同的余弦项(将半球上的辐照度积分并乘以BRDF给出绘制方程)。

因此，这两个余弦项都是指一个效应，但我认为你是对的，在呈现方程中有两个余弦项。方程中可见的第一项补偿了接收片上辐照度的减弱，而辐射定义中隐含的第二次余弦对应于源斑的辐射度，即受掩缩的表面积。在路径跟踪中，这种亮度(Li)要么来自一个已知辐射值的直接光，要么来自一个未知的间接光，并将被递归求解。但是如果你要计算源辐射，你也需要把这两个项相乘。