如何用fft在频域上对正弦波加相移？

Question

我想把正弦波移到频域。

我的想法如下：

1. 傅里叶变换
2. 在频域上增加π的相移
3. 逆傅里叶变换

代码：

t=np.arange(0, 6 , 0.001)
values = A*np.sin(t)
ft_values= np.fft.fft(values)
ft_values_phase=ft_values+1j*np.pi
back_again= np.fft.ifft(ft_values_phase)
plt.subplot(211)
plt.plot(t,values)
plt.subplot(212)
plt.plot(t,back_again)

我希望看到两个图像，其中一个波被pi移动，但是我得到了这个结果。

(无相移)：

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谢谢你的帮助！

Answer 1

你没有发生相移。

您所做的是添加一个6000-向量，例如P，其常数为P(i) =jπto V，即v.

让我们写Ṽ=V+ P。

由于快速傅立叶变换(和IFFT)的线性度，你所说的back_again是

ṽ= IFFT(Ṽ) = IFFT(V) + IFFT(P) =v+p

其中，p= IFFT(P)是差分values-back_again -现在，让我们检查什么是p.

In [51]: P = np.pi*1j*np.ones(6000) 
    ...: p = np.fft.ifft(P) 
    ...: plt.plot(p.real*10**16, label='real(p)*10**16') 
    ...: plt.plot(p.imag, label='imag(p)') 
    ...: plt.legend();

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如您所见，您修改了values，为t=0添加了一个实际的ṽ分量，它本质上是计算IFFT时的数值噪声(因此在图中没有变化，这给了您back_again的真实部分)和一个假想的尖峰，它的高度不出所料地等于π。

一个常数的变换在ω=0上是一个尖峰，一个常数的反变换(在频域上)在t=0上是一个尖峰。

另一方面，如果将每个FFT项乘以一个常数，则还可以将时域信号乘以相同的常数(记住，FFT和IFFT是线性的)。

要想做你想做的事，你必须记住，时域上的偏移只是周期信号与一个时移尖峰的(圆形)卷积，所以你必须把信号的FFT乘以移位尖峰的FFT。

由于狄拉克分布( the )的傅里叶变换是exp(-iωa)，所以必须将信号的每个项乘以一个频率相关项，exp(-iωa)=cos(ωa)-i·sin(ωa) (注:当然，每个乘法项都有单位振幅)。

一个例子

一些预演

In [61]: import matplotlib.pyplot as plt 
    ...: import numpy as np                                                                                           
In [62]: def multiple_formatter(x, pos, den=60, number=np.pi, latex=r'\pi'): 
             ... # search on SO for an implementation
In [63]: def plot(t, x): 
    ...:     fig, ax = plt.subplots() 
    ...:     ax.plot(t, x) 
    ...:     ax.xaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(multiple_formatter)) 
    ...:     ax.xaxis.set_major_locator(plt.MultipleLocator(np.pi / 2)) 
    ...:     ax.xaxis.set_minor_locator(plt.MultipleLocator(np.pi / 4)) 

一个计算周期n中狄拉克分布离散FT的函数

In [64]: def shift(n, N): 
    ...:     s = np.zeros(N) 
    ...:     s[n] = 1.0 
    ...:     return np.fft.fft(s)                                                                                     

让我们画一个信号和一个移位的信号

In [65]: t = np.arange(4096)*np.pi/1024                                                                               
In [66]: v0 = np.sin(t)                                                                                               
In [67]: v1 = np.sin(t-np.pi/4)                                                                                       
In [68]: f, a = plot(t, v0)                                                                                           
In [69]: a.plot(t, v1, label='shifted by $\\pi/4$');                                                                   
In [70]: a.legend();

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现在计算正确尖峰的FFT (注意，π/4 =(4π)π)，移位信号的FFT，s.s的FFT的IFFT。最后给出我们的结果

In [71]: S = shift(4096//16-1, 4096)                                                                                  
In [72]: VS = np.fft.fft(v0)*S                                                                                        
In [73]: vs = np.fft.ifft(VS)                                                                                         
In [74]: f, ay = plot(t, v0)                                                                                          
In [75]: ay.plot(t, vs.real, label='shifted in frequency domain');                                                    
In [76]: ay.legend();

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Answer 2

太好了，帮了忙！对于任何想要这样做的人，这里有一个python文件：

import numpy as np
from matplotlib.pyplot import plot, legend
def shift(n, N): 
    s = np.zeros(N) 
    s[n] = 1.0 
    return np.fft.fft(s)  
t = np.linspace(0, 2*np.pi,1000) 
v0 = np.sin(t)                                                                                               
S = shift(1000//4, 1000)  # shift by pi/4
VS = np.fft.fft(v0)*S 
vs = np.fft.ifft(VS)
plot(t, v0 , label='original' )
plot(t,vs.real,label='shifted in frequency domain')
legend()

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