如何将fft点重新标度以得到与解析解相同的结果？

Question

我想用numpy fft包进行快速傅里叶变换，然后我尝试比较解析解和快速傅里叶变换的结果，虽然我可以从我所做的图中看到曲线是相似的，但很明显，尺度是不同的。

我尝试过几种不同版本的频率(角频率、频率和波数)，但我的所有尝试都没有奏效，在numpy文档中，还不清楚如何准确地定义快速傅里叶变换。例如，我想用指数函数在时间上变换成角频域，f(t)=Exp(-a|t|)，F(w)=a/pi*(a²+w²) (这个解析解有多个版本，取决于我们考虑的频率空间)

def e(t):
    return np.exp(-0.5*abs(t))
def F(w):
    return 0.5/(np.pi)*(1/(((0.5)**2)+((w)**2)))

t=np.linspace(0,100,1000)

w=np.fft.fftfreq(len(t))
plt.plot(w,F(w),'o',label='F(w)')
plt.legend()
plt.show()

fourier=np.fft.fft(e(t))
plt.plot(w,fourier,'o')
plt.show()

我尝试了以上代码的多个不同的变体，特别是频率，但我仍然没有达到一点，fft和解析解是相似的。有人能帮帮我吗？

Answer 1

傅里叶变换可应用于可积函数(如np.exp(-0.5*abs(t)) )。但是离散傅里叶变换计算周期信号的傅里叶变换。见https://dsp.stackexchange.com/questions/26884/about-fourier-transform-of-periodic-signal和FFTW真正计算的是。

因此，--长度为T的帧的DFT对应于周期化帧的傅里叶变换，自该帧从0开始，计算周期右侧指数衰减的傅里叶变换：

正如您所看到的，np.exp(-0.5*abs(t)) 函数的一半没有显示。，让我们纠正它，并添加双面指数衰减的周期化增长部分。我使用频率作为参数：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def e(t):
    return np.exp(-0.5*abs(t))
def F(w):
    return 0.5/(np.pi)*(1/(((0.5)**2)+((w)**2)))

def Fc(xi):
    #ok , that's sourced from https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform ... Square-integrable functions, one-dimensional, line 207
    return 2*0.5/(((0.5)**2)+(4*(np.pi*xi)**2))


framelength=100.
nbsample=1000
def ep(t):
    #the periodized negative part is added at the end of the frame.
    return np.maximum(np.exp(-0.5*abs(t)),np.exp(-0.5*abs(t-framelength)))

t=np.linspace(0,framelength,nbsample, endpoint=False)

#plotting the periodized signal, to see what's happening
ein=ep(t)
tp=np.linspace(0,10*framelength,10*nbsample, endpoint=False)
periodized=np.zeros(10*nbsample)
for i in range(10):
    for j in range(nbsample):
       periodized[i*nbsample+j]=ein[j]

plt.plot(tp,periodized,'k-',label='periodized frame')
plt.legend()
plt.show()

fourier=np.fft.fft(ep(t))/np.size(ep(t))*framelength

#comparing the mean is useful to check the overall scaling
print np.mean(ep(t))*framelength
print fourier[0]
print Fc(0)

#the frenquencies of the DFT of a frame of length T are 1/T, 2/T ... and negative for the second part of the array.
xi=np.fft.fftfreq(len(t), framelength/len(t))

# comparison between analytical Fourier transform and dft.
plt.plot(xi,Fc(xi),'o',label='F(xi)')
plt.plot(xi,np.real(fourier),'k-', lw=3, color='red', label='DTF')
plt.legend()
plt.show()

结果是：

​

​

对于实验中的非周期信号，当帧被周期化时，会出现人为的不连续.通过引入光谱泄漏和视窗来减弱不连续性及其影响。其中一个潜在的窗口，称为泊松窗口，是一个双面指数衰减！