最终市场分配的计算-竞争规划

Question

我在练习竞争性编程时遇到了以下问题。我手工解决了这个问题，设计了一种方法，但我的答案是错误的，我无法想象如何扩展我的方法。

问题：

N咖啡连锁店正通过一场激烈的广告大战争夺市场份额。每天都会有一定比例的顾客被说服从一条链转到另一条。

给出了当前市场份额和客户切换的日概率。如果广告永远运行，市场份额的最终分布将是什么？

假设：总市场份额为1.0，客户切换独立于其他客户和天的可能性。

示例：2个咖啡连锁店:A和B的市场份额A: 0.4，市场份额B: 0.6。

每天，客户从A切换到B的概率为0.2，客户从B切换到A的概率为0.1。

input: market_share=[0.4,0.6]，

switch_prob = [[.8,.2][.1,.9]]

output: [0.3333 0.6667]

在这里之前的一切都是问题的一部分，我没有形成这个例子或假设，而是给出了这个问题。

My_attempt：据我理解，开关概率表示从A到B转换的概率。

因此，

market_share_of_A = current_market_share - lost_customers + gained_customers and 
marker_share_of_B = (1 - marker_share_of_A)

iter_1: 
    lost_customers = 0.4 * 0.8 * 0.2 = 0.064
    gained_customers = 0.6 * 0.2 * 0.1 = 0.012
    market_share_of_A = 0.4 - 0.064 + 0.012 = 0.348
    marker_share_of_B = 1 - 0.348 = 0.652

iter_2:
    lost_customers = 0.348 * 0.1 * 0.2 = 0.00696
    gained_customers = 0.652 * 0.9 * 0.1 = 0.05868
    market_share_of_A = 0.348 - 0.00696 + 0.05868 = 0.39972
    marker_share_of_B = 1 - 0.32928 = 0.60028

my answer: [0.39972, 0.60028]

如前所述，预期答案是[0.3333 0.6667]。

1. 我不明白我哪里错了？如果出了什么问题，那一定是我对这个问题的理解。请提供你的想法。
2. 在这个例子中，他们证明了一个简单的例子，那就是只有两个竞争对手。如果还有更多呢？让我们说三- A, B, C.我认为输入必须以[[0.1, 0.3, 0.6]..]的形式提供切换概率，因为A可能会将它的客户输给B和C，而且会有很多这样的例子。现在，我至少要计算两家公司的市场份额，第三家是(1-sum_of_all)。在计算B的市场份额时，我必须计算它失去的客户以及获得的结果，公式是(current - lost + gained)。得到的是gain_from_A and gain_from_C之和。这是正确的吗？

Answer 1

根据我的评论，这个问题可以用矩阵方程来表示。

“过渡”矩阵T(i, j) (维度N x N)的元素定义如下：

• i = j (对角线)：客户在连锁i中停留的概率
• i != j (非对角线)：链j向链i转移的概率

这个矩阵的物理意义是什么？让市场份额状态由大小为P(i)的向量N表示，其i-th值是连锁i的市场份额。向量P' = T * P是每天之后的下一个共享状态。

考虑到这一点，T * P = P给出了平衡方程，即最终状态在跃迁T下是不变的。

| T(1, 1)  T(1, 2)  T(1, 3) ... T(1, N) |   | P(1) |   | P(1) |
| T(2, 1)  T(2, 2)  ...                 |   | P(2) |   | P(2) |
| T(3, 1)  ...                          |   | P(3) |   | P(3) |
| .        .                            | * | .    | = | .    |
| .                 .                   |   | .    |   | .    |
| .                         .           |   | .    |   | .    |
| T(N, 1)                       T(N, N) |   | P(N) |   | P(N) |

然而，这本身是无法解决的-- P只能在其元素之间确定多个比率(这种情况的技术名称使我无法理解--正如MBo指出的那样，这是由于退化造成的)。还有一个额外的限制，即股票加起来等于1：

P(1) + P(2) + ... P(N) = 1

我们可以选择一个任意的共享值(例如，N第四值)并用这个表达式替换它。相乘后，方程的第一行是：

T(1, 1) P(1) + T(1, 2) P(2) + ... T(1, N) (1 - [P(1) + P(2) + ... P(N - 1)]) = P(1)

--> [T(1, 1) - T(1, N) - 1] P(1) + [T(1, 2) - T(1, N)] P(2) + ... "P(N - 1)" = -T(1, N)

第二行的等效方程是：

[T(2, 1) - T(2, N)] P(1) + [T(2, 2) - T(2, N) - 1] P(2) + ... = -T(2, N)

总结一下总的模式，我们定义：

• 矩阵S(i, j) (维数[N - 1] x [N - 1])：
• S (i，i) = T(i，i) - T(i，N) -1-S(i，j) = T(i，j) - T(i，N) (i= j)
• 一个大小为Q(i)的向量N - 1，包含P(i)的第一个N - 1元素
• 一种大小为R(i)的向量N - 1，例如R(i) = -T(i, N)

然后方程变成S * Q = R

| S(1, 1)   S(1, 2)  S(1, 3) ... S(1, N-1)   |   | Q(1)   |   | R(1)   |
| S(2, 1)   S(2, 2)  ...                     |   | Q(2)   |   | R(2)   |
| S(3, 1)   ...                              |   | Q(3)   |   | R(3)   |
| .         .                                | * | .      | = | .      |
| .                  .                       |   | .      |   | .      |
| .                          .               |   | .      |   | .      |
| S(N-1, 1)                      S(N-1, N-1) |   | Q(N-1) |   | R(N-1) |

解决上述方程给出了Q，它给出了第一个N - 1共享值(当然，最后一个也来自约束)。方法包括高斯消去和LU分解，这两种方法都比直接计算Q = inv(S) * R的朴素路径更有效。

请注意，您可以翻转S和R中的符号，以便进行稍微方便的评估。

上面给出的玩具示例非常琐碎：

| 0.8   0.1 |   | P1 |   | P1 |
|           | * |    | = |    |
| 0.2   0.9 |   | P2 |   | P2 |

--> S = | -0.3 |, R = | -0.1 |

--> Q1 = P1 = -1.0 / -0.3 = 0.3333
    P2 = 1 - P1 = 0.6667

N = 3的一个例子

    | 0.1  0.2  0.3 |           | -1.2   -0.1 |        | -0.3 |
T = | 0.4  0.7  0.3 |  -->  S = |             | ,  R = |      |
    | 0.5  0.1  0.4 |           |  0.1   -0.6 |        | -0.3 |

         | 0.205479 |
-->  Q = |          | , P3 = 0.260274
         | 0.534247 |

请原谅鲁滨逊漂流记风格的格式--为了便于阅读，我稍后将尝试用LaTeX编写这些格式。