基于Numpy和Nyquist频率的FFT导数

Question

我很难理解Numpy关于Nyquist频率的行为。请考虑以下示例：

import numpy as np
x=np.linspace(0, 2*np.pi, 21)[:-1]
k=np.fft.rfftfreq(len(x), d=x[1]-x[0])

FFT=np.fft.rfft(x)

x1=np.fft.irfft(1j*k*FFT)
FFT[-1]+=1e5
x2=np.fft.irfft(1j*k*FFT)

print(np.allclose(x1,x2))

打印True。所以很明显，无论我如何处理FFT中的Nyquist频率，结果总是一样的，而更改被忽略了。奇怪的是，当尝试仅仅恢复函数(没有派生)时，不会发生这种情况：

x1=np.fft.irfft(FFT)
FFT[-1]+=1e5
x2=np.fft.irfft(FFT)

print(np.allclose(x1,x2))

打印False。

我可能误解了奈奎斯特频率是什么(维基百科和其他来源不是很有用)，但这两个结果不应该受到奈奎斯特频率变化的影响吗？我能找到的最接近的解释是，Nyquist频率应该是一个实数，但似乎仍然不能解释这两种行为。

我之所以问这个问题，是因为我试图复制我知道的结果，这些结果是正确的，它是从一个Fortran码中得到的，它确实做了一些与奈奎斯特频率wen区分的事情。我的结果总是有1%的折扣，我猜这就是罪魁祸首。

Answer 1

r in np.fft.rfft()表示您正在实际输入上使用DFT。但如果这不是真的，你会得到意想不到的行为，像这样的。只需对复杂值使用fft函数即可。作为附带说明，请始终尝试检查数据。

编辑(附加解释)：

特别是，当你计算“实输入密度FT”时，你要对你的数据强制执行某些性质，即实值函数的(D)FT，这意味着(D)FT变换是Hermitian对称的，因此负(D)FT系数是多余的，因此rfft和后来的irfft是在这种假设下进行优化计算的。有关更多信息，请参见他们的文档np.fft.rfft()和np.fft.irfft()。

简单地说，由于这种预期的奇偶性，一半的系数(负的)不会由np.fft.rfft()计算，而且由于(D)FT变换的奇偶性，第一个分量是纯实的(定义上)，最后一个分量也是纯实的(为了方便起见)。由于1j乘法，在随后的irfft调用中，纯实的东西现在都是纯虚的(反之亦然)。由于irfft()将忽略第一个和最后一个组件的假想部分，所以您的语句不会影响其结果。