投影几何-利用本征在三维中寻找平面

Question

我试着用3D中的三点来构造一架飞机。我想用射影几何学来实现这一点。

据我所知，只要“简单地”解决以下问题，就可以找到一架飞机：

A * x = 0 ,where
A is a 3x4 Matrix - each row being one of the points (x,y,z,1)
x is the plane I want to find

我知道我需要一个约束。因此，我想设置x(3) = 1。有人能给我指出正确的使用方法吗？

到目前为止，我有以下代码：

Eigen::Vector4f p1(0,0,1,1);
Eigen::Vector4f p2(1,0,0,1);
Eigen::Vector4f p3(0,1,0,1);

Eigen::Matrix<float,3,4> A;
A << p1.transpose(), p2.transpose(), p3.transpose();

// Throws compile error
// Eigen::Vector4f Plane = A.jacobiSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(Vector4f::Zero()); 

//throws runtime error (row-number do not match)
// Eigen::Vector4f Plane = A.fullPivHouseholderQr().solce(Eigen::Vector4f::Zero()); 

Answer 1

一个3x4矩阵乘以一个4行向量将给你一个3行向量。因此，您必须解决一个Vector3f::Zero()。此外，对于固定大小的矩阵，需要计算整个U和V。最后一行如下所示：

Vector4f Plane = A.jacobiSvd(ComputeFullU | ComputeFullV).solve(Vector3f::Zero());

Eidt，由于这个方程组不是完全定义的，它可能给出(0，0，0，0，0)的平凡解。通过将矩阵展开为4x4，求解(0,0,0,1)并将结果缩放为x(3)，可以通过约束结果向量的长度来解决这个问题：

Eigen::Vector4f p1(0,0,1,1);
Eigen::Vector4f p2(1,0,0,1);
Eigen::Vector4f p3(0,1,0,1);
Eigen::Vector4f p4(1,1,1,1);

Eigen::Matrix<float,4,4> A;
A << p1.transpose(), p2.transpose(), p3.transpose(), p4.transpose();

// Throws compile error
Eigen::Vector4f Plane = A.jacobiSvd(Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV).solve(Vector4f::Unit(3)); 
Plane /= Plane(3);

这将给出所需的(-1，-1，-1，1)的解。