函数可以分解为高斯和吗？

Question

• 在傅里叶级数中，任何函数都可以分解为正弦和余弦之和。
• 在神经网络中，任何函数都可以分解为logistic函数上的加权和。(一层神经网络)
• 在小波变换中，任何函数都可以分解为Haar函数的加权和。

是否也有这样的性质来分解成高斯混合？如果有，是否有证据？

Answer 1

如果和允许是无限的，那么答案是肯定的。请参阅Yves Meyer的“小波与算子”一书，第6.6节，引理10。

Answer 2

有一个定理，Stone-Weierstrass定理，它给出了一个函数族何时可以逼近任何连续函数的条件。你需要

• 函数代数(加法、减法和乘法下的闭包)
• 常数函数
• 你需要这些函数来分离点：

- (for any two distinct points you can find a a function that assigns them different values)

​

你可以用越来越宽的高斯近似一个常数函数。你可以把高斯人移到不同的点上。所以，如果你用高斯构成一个代数，你可以用它们来逼近任何连续函数。

Answer 3

是。将任何函数分解为任意类型高斯的和是可能的，因为它可以分解为Dirac函数：的和(而狄拉克是一个方差接近于零的高斯函数)。

一些更有趣的问题是：

• 可以将任何函数分解为一个非零方差高斯之和，其中有一个给定的常量方差，定义在变化中心周围？
• 是否可以将任何函数分解为非零方差高斯的和，所有函数都以0为中心，但定义为交替方差？

不过，数学堆栈交换可能是回答这些问题的一个更好的地方。