确定一个点是否属于n阶Koch雪花所指定的区域

Question

我正在尝试编写一个python脚本，它执行以下计算：

输入： (1)列表L:一些二维点的列表(2)列表V:三角形(3)正整数n的顶点:由该三角形创建的Koch雪花的阶数

输出：列表O，L的子集，包含位于区域Kn上或区域内的L的点，该区域是由n阶雪花定义的区域。

我的尝试:首先，我想我应该实现一个标准的算法来绘制一个给定顺序的雪花(和边长)。下面是我写的代码：

import turtle
from test import test

world= turtle.Screen()
t= turtle.Turtle()

def koch(t, order, size):
    if order == 0:
        t.forward(size)
    else:
        for angle in [60, -120, 60, 0]:
           koch(t, order-1, size/3)
           t.left(angle)

def koch_fractal(t, order, size, main_polygon_sides= 3):
    for i in range(main_polygon_sides):
        koch(t, order, size)
        t.right(360/main_polygon_sides)

koch_fractal(t, 2, 100)
world.mainloop()

但是因为它没有提到雪花的区域，所以我不能再动了。接下来，我认为雪花的区域可能有一些洞察力，所以我写了这个函数：

from math import sqrt
koch_cache={}
def koch_fractal_area(n, side):
    original_area = (sqrt(3)/4) * side**2 #Area of the original triangle 
    koch_cache[0] = original_area
    for i in range(n+1):
        if i not in koch_cache:
         koch_cache[i] = koch_cache[i-1] + (3*4**(i-1))*(sqrt(3)/4) * (side/(3**i))**2
    return koch_cache[n]

它实现了一个计算面积的显式公式。再说一遍，这似乎与我想要做的事情无关。

我如何处理这个问题？提前感谢！

Answer 1

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为了提高效率，当您将点与侧比较时，请使用以下规则：

• 如果你在蓝色区域，那点在外面，
• 如果你在橙色区域，重点在里面，
• 否则，您将需要递归测试，，但确保选择点所在的绿色三角形，以便您只在一个子侧进行递归测试。

这看起来可能有点不同，但它可以节省大量资金。实际上，在n-th世代中，片有3 x 4^n边(即第十代的3145728 )；如果您递归到一个子侧，您将只进行12测试！

@cdlane的版本是最糟糕的，因为它每次都会执行一个详尽的测试。@ante的版本介于两者之间，因为它有时会提前停止，但仍然可以执行指数级的测试。

实现的一种简单方法是假设要检查的侧总是(0,0)-(1,0)。然后，测试测试点属于哪个三角形是一个简单的问题，因为顶点的坐标是固定的和已知的。这可以通过与一条直线的四个比较来实现。

当你需要回复到一个子边时，你会将它移动到原点，缩放3，旋转60°(如果必要的话)；将同样的转换应用到测试点上。

Answer 2

可以用同样的方式检查点位置，即如何递归地创建Koch雪花。步骤如下：

• 检查是给定三角形内的点，
• 如果不是，则点是在一些三角形边的负边上。对于点位于负边的每一条边，递归检查是该边的“中间三角形”中的点，如果不是递归地检查下两个可能的雪花边缘部分的话。

这种方法速度更快，因为它不会创建整个多边形并对其进行检查。

下面是对点使用numpy的实现：

import numpy

def on_negative_side(p, v1, v2):
    d = v2 - v1
    return numpy.dot(numpy.array([-d[1], d[0]]), p - v1) < 0

def in_side(p, v1, v2, n):
    if n <= 0:
        return False
    d = v2 - v1
    l = numpy.linalg.norm(d)
    s = numpy.dot(d / l, p - v1)
    if s < 0 or s > l:  # No need for a check if point is outside edge 'boundaries'
        return False
    # Yves's check
    nd = numpy.array([-d[1], d[0]])
    m_v = nd * numpy.sqrt(3) / 6
    if numpy.dot(nd / l, v1 - p) > numpy.linalg.norm(m_v):
        return False
    # Create next points
    p1 = v1 + d/3
    p2 = v1 + d/2 - m_v
    p3 = v1 + 2*d/3
    # Check with two inner edges
    if on_negative_side(p, p1, p2):
        return in_side(p, v1, p1, n-1) or in_side(p, p1, p2, n-1)
    if on_negative_side(p, p2, p3):
        return in_side(p, p2, p3, n-1) or in_side(p, p3, v2, n-1)
    return True

def _in_koch(p, V, n):
    V_next = numpy.concatenate((V[1:], V[:1]))
    return all(not on_negative_side(p, v1, v2) or in_side(p, v1, v2, n)
        for v1, v2 in zip(V, V_next))

def in_koch(L, V, n):
    # Triangle points (V) are positive oriented
    return [p for p in L if _in_koch(p, V, n)]

L = numpy.array([(16, -16), (90, 90), (40, -40), (40, -95), (50, 10), (40, 15)])
V = numpy.array([(0, 0), (50, -50*numpy.sqrt(3)), (100, 0)])
for n in xrange(3):
    print n, in_koch(L, V, n)
print in_koch(L, V, 100)

Answer 3

找到一个具有一个执行“多边形点”包含测试的例程的Python模块；使用turtle的begin_poly()、end_poly()和get_poly()来捕获代码生成的顶点，然后应用缠绕号测试：

from turtle import Turtle, Screen
from point_in_polygon import wn_PnPoly

points = [(16, -16), (90, 90), (40, -40), (40, -95)]

screen = Screen()
yertle = Turtle()
yertle.speed("fastest")

def koch(turtle, order, size):
    if order == 0:
        turtle.forward(size)
    else:
        for angle in [60, -120, 60, 0]:
            koch(turtle, order - 1, size / 3)
            turtle.left(angle)

def koch_fractal(turtle, order, size, main_polygon_sides=3):
    for _ in range(main_polygon_sides):
        koch(turtle, order, size)
        turtle.right(360 / main_polygon_sides)

yertle.begin_poly()
koch_fractal(yertle, 2, 100)
yertle.end_poly()

polygon = yertle.get_poly()

yertle.penup()

inside_points = []

for n, point in enumerate(points):
    yertle.goto(point)
    yertle.write(str(n), align="center")

    winding_number = wn_PnPoly(point, polygon)

    if winding_number:
        print(n, "is inside snowflake")
        inside_points.append(point)
    else:
        print(n, "is outside snowflake")

print(inside_points)

yertle.hideturtle()

screen.exitonclick()

​

​

% python3 test.py
0 is inside snowflake
1 is outside snowflake
2 is inside snowflake
3 is outside snowflake
[(16, -16), (40, -40)]