使用百分位点数定义分布

Question

在@Risk和水晶球中，我们可以使用百分位数数据定义概率分布。例如，我们只需输入3个数据点，例如P10、P50和P90估计，就可以定义日志正态分布。然后，该软件将推出PDF的分布。这到底是怎么做到的？例如，在Matlab中，Excel或Mathematica就可以了。

在文档中，没有明确说明软件是如何做到的。

Answer 1

从对数正态分布开始，由平均值=1和标准差= 0.5的正态分布导出，计算第10、50和90百分位数。

μ = 1;
σ = 0.5;

p[n_] := Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], n]

p10 = p[0.1]

1.43222

p50 = p[0.5]

2.71828

p90 = p[0.9]

5.15917

Show[
  Plot[PDF[LogNormalDistribution[μ, σ], x], {x, 0, 12}],
  Plot[PDF[LogNormalDistribution[μ, σ], x], {x, 0, #},
    PlotStyle -> None, Filling -> Axis] & /@ {p10, p50, p90},
  Epilog -> MapThread[Inset[#1, {#2, 0.025}] &,
   {{"p10", "p50", "p90"}, {p10, p50, p90}}]]

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现在，根据OP的问题，只从百分位数反算μ和σ。

Clear[μ, σ]

sol = Quiet@First@Solve[{
     Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], 0.1] == p10,
     Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], 0.5] == p50, 
     Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], 0.9] == p90}, {μ, σ}]

{ -> 1.，σ-> 0.5}

对数-正常均值和方差：

Mean[LogNormalDistribution[μ, σ]] /. sol

3.08022

Variance[LogNormalDistribution[μ, σ]] /. sol

2.69476

检查符号的评估和定义，以了解计算。

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