用Runge-Kutta求解耦合微分方程

Question

我有一个耦合方程组:静水平衡方程、质量连续性方程和理想气体的状态方程。在数学语法中，

1. \frac{dP}{dr}=- \rho*g，

其中\rho是密度，g是重力加速度。

1. \frac{dM}{dr}=4*pi* r^2*\rho

和

1. p=\rho* k_B* T/(\mu *m_p)，

其中k_B是boltzmann常数，\mu是平均分子量，m_p是质子质量。

我想用Runge数值技术求解这些耦合方程，这里我展示了我为解决这个问题而设计的python代码：

from scipy.constants import m_p,G,k,pi
from pylab import *

#mu may be changed for different molecular composition:
mu=2
def g(r_atm, p_atm):
    T=165
    return 4*pi*r_atm**2*mu*m_p*p_atm/(k*T)

def f(r_atm,p_atm, m_atm):
    T=165
    return -mu*m_p*p_atm*G*m_atm/(k*T*r_atm**2)

def rk4_1(g,f, r0, p0,m0, r1, n):
    r_atm = [0]*(n + 1)
    p_atm = [0]*(n + 1)
    m_atm=[0]*(n + 1)
    h = (r1 - r0)/n
#    h=-20
    r_atm[0]=r0
    p_atm[0]=p0
    m_atm[0]=m0

    for i in range(0,10000000):
        if p_atm[i]<100000:

            k0 = h*g(r_atm[i], p_atm[i])

            l0 = h*f(r_atm[i], p_atm[i], m_atm[i])

            k1 = h*g(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*k0)

            l1 = h*f(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*l0, m_atm[i]+0.5*k0)

            k2 = h*g(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*k1)

            l2 = h*f(r_atm[i] + 0.5*h, p_atm[i] + 0.5*l1, m_atm[i]+0.5*k1)

            k3 = h*g(r_atm[i] + h, p_atm[i] + k2)

            l3 = h*f(r_atm[i] + h, p_atm[i] + l2,  m_atm[i]+k2)

            r_atm[i+1] = r0 + (i+1)*h
            p_atm[i+1] = p_atm[i] + (l0 + 2*l1 + 2*l2 + l3)/6
            m_atm[i+1] = m_atm[i] + (k0 + 2*k1 + 2*k2 + k3)/6

            else:
                break

        return h, r_atm, p_atm, m_atm

h, r_atm, p_atm, m_atm = rk4_1(g,f, 6.991e7, 1e-6*1e5, 1.898e27, 2.0e7,10000000) #bar to pascals (*1e5)

对于压力，p_atm，半径，r_atm和质量，m_atm的初始条件，我使用了在h, r_atm, p_atm, m_atm = rk4_1(g,f, 6.991e7, 1e-6*1e5, 1.898e27, 2.0e7,10000000)中显示的值。请注意，我正从高层大气(给出初始条件)接近这个边值问题，并在大气中向下推进(注意h是负的)。我的目的是评估从10^-1 Pascals到100000 Pascals的数值积分。运行这段代码的结果是，压力只需三个步骤就会爆炸到~1e+123，所以很明显，有一些非常错误的东西在流，但是有另一个视角或视角会有帮助，因为这是我第一次执行Runga方法。

Answer 1

正如Wolph所说，除以n可能只会给您h=0，这取决于您使用的是哪个版本的Python。如果您使用的是2.x，您应该在开始时包括from __future__ import division，或者以其他方式处理这个除法(例如，除以float(n))。(哦，我想也许您也打算在循环中使用n，而不是硬编码range(0,10000000)？现在的代码中有一些缩进错误，但我想这只是在这里发布的。)

不过，这似乎不是主要问题。你说你很早就得到了高压，当我运行它时，压力会变得很低？即使有了适当的除法，我也得到了p_atm[3] = -2.27e+97，并由此开始得到无穷大(inf和-inf)和nans。

在不更好地了解具体问题的情况下，很难看出您的实现中是否有错误，或者这仅仅是数值不稳定的问题。这在我看来是正确的，但我很可能错过了一些东西(有点难读)。如果这是您第一次使用Runge，我强烈建议您使用现有的实现，而不是自己尝试正确地实现它。数值计算和避免浮点问题是很有挑战性的.您已经在使用scipy了--为什么不使用他们实现的R方法，或者相关的数值积分解呢？例如，请看一下scipy.integrate。如果没有其他问题，如果scipy集成商不能解决您的问题，那么至少您知道您面临的挑战是什么。

Answer 2

这里有一个使用小数的版本，它似乎工作得稍微好一点：

from decimal import Decimal as D
from scipy.constants import m_p,G,k,pi

m_p = D(m_p)
G = D(G)
k = D(k)
pi = D(pi)

# mu may be changed for different molecular composition:
mu = D(2)

def g(r_atm, p_atm):
    T = D(165)
    return D(4) * pi * r_atm ** D(2) * mu * m_p * p_atm/(k * T)


def f(r_atm,p_atm, m_atm):
    T = D(165)
    return -mu * m_p * p_atm * G * m_atm/(k * T * r_atm ** D(2))


def rk4_1(g,f, r0, p0,m0, r1, n):
    r_atm = [D(0)] * (n + 1)
    p_atm = [D(0)] * (n + 1)
    m_atm = [D(0)] * (n + 1)
    h = (r1 - r0) / n
    # h = -20
    r_atm[0] = r0
    p_atm[0] = p0
    m_atm[0] = m0

    for i in range(0, 10000000):
        if p_atm[i] < 100000:
            k0 = h * g(r_atm[i], p_atm[i])
            l0 = h * f(r_atm[i], p_atm[i], m_atm[i])
            k1 = h * g(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * k0)
            l1 = h * f(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * l0,
                       m_atm[i]+D('0.5') * k0)
            k2 = h * g(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * k1)
            l2 = h * f(r_atm[i] + D('0.5') * h, p_atm[i] + D('0.5') * l1,
                       m_atm[i]+D('0.5') * k1)
            k3 = h * g(r_atm[i] + h, p_atm[i] + k2)
            l3 = h * f(r_atm[i] + h, p_atm[i] + l2,  m_atm[i]+k2)

            r_atm[i + 1] = r0 + (i + 1) * h
            p_atm[i + 1] = p_atm[i]  +  (l0  +  D('2') * l1  +  D('2') * l2  +
                                         l3)/D('6')
            m_atm[i + 1] = m_atm[i]  +  (k0  +  D('2') * k1  +  D('2') * k2  +  k3)/D('6')

        else:
            break

    return h, r_atm, p_atm, m_atm

h, r_atm, p_atm, m_atm = rk4_1(
    g,
    f,
    D('6.991e7'),
    D('1e-6') * D('1e5'),
    D('1.898e27'),
    D('2.0e7'),
    10000000,
)  # bar to pascals (*1e5)

print 'h', h

Answer 3

由于f是P导数，g是M导数函数，那么k是M的斜率，l的M是P的斜率。

p_atm[i] + 0.5*l0, 

正如在下一行中为l1所做的那样。

这对结果的影响是不可预测的。对于足够小的步长，它只会将方法的顺序降为1。对于较大的步长，它可能会使集成不稳定(其中RK4仍然稳定)，结果是混沌的。