numpy.fft.fft不按numpy.fft.fftfreq给出的频率计算dft？

Question

这是一个数学问题，但它与numpy实现有关，所以我决定这样问它。也许我是大错特错了，但如果是这样的话，我希望被纠正。

numpy.ftt.ftt根据方程计算密度泛函：

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numpy.ftt.fftfreq应该返回计算密度泛函的频率。

假设我们有：

x = [0, 0, 1, 0, 0]
X = np.fft.fft(x)
freq = np.fft.fftfreq(5)

然后，对于信号x，它的密度泛函变换为X，计算X的频率由freq给出。例如，X[0]在频率freq[0]处是x的DFT，在频率freq[1]上是x的DFT，等等。

但是，当我用上述公式计算一个简单信号的密度DFT时，我的结果表明，X[1]是x在频率1上的密度DFT，而不是在freq[1]上，X[2]是x在频率2等处的DFT，而不是freq[2]等等。

例如：

In [32]: x
Out[32]: [0, 0, 1, 0, 0]

In [33]: X
Out[33]: 
array([
    1.00000000+0.j, 
    -0.80901699-0.58778525j,
    0.30901699+0.95105652j,  0.30901699-0.95105652j,
    -0.80901699+0.58778525j])

In [34]: freq
Out[34]: array([ 0. ,  0.2,  0.4, -0.4, -0.2])

如果我为k = 0.2 (或freq[1])计算上述信号的密度at，就会得到X在freq = 0.2: 0.876 - 0.482j，而不是X[1]。

但是，如果我为k = 1计算，则得到的结果与X[1]或-0.809 - 0.588j中的结果相同。

那我有什么误会？如果numpy.fft.fft(x)[n]是频率n的DFT，而不是n的numpy.fft.fttfreq(len(x))[n]，那么numpy.fft.fttfreq的目的是什么？

Answer 1

1. 你的问题不是这样的
2. 你写的 如果我为k = 0.2计算上述信号的密度DFT。

我回答“你不应该”..。只有对k的整数值才能有意义地计算DFT。

1. 指数k和频率之间的关系是由f_k = k Δf给出的，如果你更喜欢圆形频率，则是ω_k = k Δω，其中Δf = 1/T和Δω = 2πΔf，T是信号的周期。
2. fftfreq的论点有点误导..。所需的一个是样本数n，可选参数是抽样间隔，默认情况下是d=1.0，但无论如何T=n*d和Δf = 1/(n*d)。(5)# d=1数组( 0。，0.2，0.4，-0.4，-0.2) >>> fftfreq(5,2)数组( 0.，0.1，0.2，-0.2，-0.1) >>> fftfreq(5,10)数组( 0.，0.02，0.04，-0.04，-0.02) 不同的T为5,10,50，相应的df为-.2,0.1,0.02 (I)。
3. 为什么fftfreq不简单地要求信号的周期？因为它主要是用来帮助尼奎斯特频率问题的。 众所周知，DFT是周期的，对于长度为x的信号N，DFT(x,k)等于DFT(x,k+mN)，其中m是整数。 这意味着只有N/2阳性和N/2阴性的不同频率，当N/2<k<N时，必须以最有意义的方式与k相关联的频率不是k df，而是(k-N) df。 为此，fftfreq需要更多的信息，即周期T，因此需要从抽样间隔的假设中选择n和计算df。

Answer 2

我认为，因为numpy.fft.fttfreq返回的数组中的值等于(k/n)*sampling frequency。

dft结果的频率等于k/n除以时间间隔，因为周期函数的周期振幅将成为fft后原始值的反比。可以认为数字信号函数是一个周期采样函数，由模拟信号函数卷积而成。时域卷积是频域上的乘法，因此输入数据的时间间隔将影响dft结果的频率间隔，频率间隔的值将变为原间隔除以时间间隔。当时间间隔为1时，dft结果的频率间隔等于1/n。因此，在dft之后，频率间隔将变成1/n除以时间间隔，时间间隔除以采样频率乘以1/n。

为了计算这一点，numpy.fft.fttfreq有两个参数，输入的长度和时间间隔，这意味着采样率的反比。输入的长度等于n，时间间隔等于结果k/n除以的值(默认为1)。

我尝试让k = 2，结果等于在您的例子中的X[2]。在这种情况下，k/n*1等于freq[2]。

Answer 3

DFT是一种无量纲基变换或矩阵乘法。DFT的输出或结果与频率无关，除非您知道输入向量(每秒、每米、每弧度等)所表示的采样率。

可以用k=0.2计算相同长度N的Goertzel滤波器，但这个结果不包含在长度N的DFT或FFT结果中。DFT只包含整数k值的复Goertzel滤波结果。要从k到用Xk表示的频率，你需要知道采样率。