计算Mahalanobis距离时遇到的问题

Question

当我试图用下面的python代码计算Mahalanobis距离时，我得到了一些结果。你对为什么会发生这种事有任何见解吗？我的data.shape = (181,1500)

from scipy.spatial.distance import pdist, squareform

data_log = log2(data + 1) # A log transform that I usually apply to my data
data_centered = data_log - data_log.mean(0) # zero centering
D = squareform( pdist(data_centered, 'mahalanobis' ) )

我也试过：

data_standard = data_centered / data_centered.std(0, ddof=1)
D = squareform( pdist(data_standard, 'mahalanobis' ) )

也有奶奶。输入没有损坏，其他距离(如相关距离)可以很好地计算。由于某些原因，当我减少功能的数量时，我就停止使用Nans了。例如，下面的示例没有任何意义：

D = squareform( pdist(data_centered[:,:200], 'mahalanobis' ) )
D = squareform( pdist(data_centered[:,180:480], 'mahalanobis' ) )

而其他人得到了南方人：

D = squareform( pdist(data_centered[:,:300], 'mahalanobis' ) )
D = squareform( pdist(data_centered[:,180:600], 'mahalanobis' ) )

有线索吗？如果输入的某些条件不满足，这是否是一种预期行为？

Answer 1

您有较少的观测量比特征，因此协方差矩阵V计算的枕码是奇异的。代码不检查这一点，并且盲目地计算协方差矩阵的“逆”。因为这个数值计算的逆基本上是垃圾，所以产品(x-y)*inv(V)*(x-y) (其中x和y是观测的)可能是负的。然后，该值的平方根将导致nan。

例如，这个数组还会产生一个nan

In [265]: x
Out[265]: 
array([[-1. ,  0.5,  1. ,  2. ,  2. ],
       [ 2. ,  1. ,  2.5, -1.5,  1. ],
       [ 1.5, -0.5,  1. ,  2. ,  2.5]])

In [266]: squareform(pdist(x, 'mahalanobis'))
Out[266]: 
array([[ 0.        ,         nan,  1.90394328],
       [        nan,  0.        ,         nan],
       [ 1.90394328,         nan,  0.        ]])

下面是“手工”完成的Mahalanobis计算：

In [279]: V = np.cov(x.T)

理论上，V是奇异的；以下值实际上是0：

In [280]: np.linalg.det(V)
Out[280]: -2.968550671342364e-47

但是inv没有看到这个问题，并返回一个相反的：

In [281]: VI = np.linalg.inv(V)

让我们计算x[0]与x[2]之间的距离，并验证使用VI时pdist返回的非nan值(1.9039)是否相同。

In [295]: delta = x[0] - x[2]

In [296]: np.dot(np.dot(delta, VI), delta)
Out[296]: 3.625

In [297]: np.sqrt(np.dot(np.dot(delta, VI), delta))
Out[297]: 1.9039432764659772

当我们试图计算x[0]和x[1]之间的距离时，会发生这样的情况

In [300]: delta = x[0] - x[1]

In [301]: np.dot(np.dot(delta, VI), delta)
Out[301]: -1.75

然后该值的平方根将给出nan。

在ciply0.16(将于2015年6月发布)中，您将得到一个错误，而不是nan或垃圾。错误消息描述了这个问题：

In [4]: x = array([[-1. ,  0.5,  1. ,  2. ,  2. ],
   ...:        [ 2. ,  1. ,  2.5, -1.5,  1. ],
   ...:        [ 1.5, -0.5,  1. ,  2. ,  2.5]])

In [5]: pdist(x, 'mahalanobis')
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-5-a3453ff6fe48> in <module>()
----> 1 pdist(x, 'mahalanobis')

/Users/warren/local_scipy/lib/python2.7/site-packages/scipy/spatial/distance.pyc in pdist(X, metric, p, w, V, VI)
   1298                                      "singular. For observations with %d "
   1299                                      "dimensions, at least %d observations "
-> 1300                                      "are required." % (m, n, n + 1))
   1301                 V = np.atleast_2d(np.cov(X.T))
   1302                 VI = _convert_to_double(np.linalg.inv(V).T.copy())

ValueError: The number of observations (3) is too small; the covariance matrix is singular. For observations with 5 dimensions, at least 6 observations are required.