如何按照给定的“相对概率”将n个点分布在一个圆内，每个点都与一个圆中心有一定距离？

Question

我在概率论方面不好。我想做的是：

我想把PERCEPTORS_NUMBER点放在一个圆圈里

我有unnormalized_distribution(r)函数。如果我们考虑两个圆半径r1和r2，那么：

​

​

等于

​

​

让我们把点与圆心的距离称为半径

所有点的半径范围为0;FOCUS_RADIUS。每个点的半径等于i/DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY，其中i是整数

我可以计算每个可能的半径的unnormalized_distribution，然后除以所有半径的unnormalized_distribution's之和。

ld distribution_integral=0;
ld probabilities[FOCUS_RADIUS*DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY+1];
for(int i=0;i<=FOCUS_RADIUS*DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY;++i)
{
    distribution_integral+=probabilities[i]=unnormalized_distribution(((ld)i)/DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY);

}
for(int i=0;i<=FOCUS_RADIUS*DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY;++i)
{
    probabilities[i]/=distribution_integral;
}

然后，对于每个半径，我将得到在0;1范围内的概率，某个点会有它。所有概率之和为1。

对于给定的点，我如何根据这个概率选择半径？

更新:解决方案代码：

ld distribution_integral=0;
ld probabilities_sums[FOCUS_RADIUS*DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY+1];
for(int i=0;i<=FOCUS_RADIUS*DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY;++i)
{
    distribution_integral+=probabilities_sums[i]=unnormalized_distribution(((ld)i)/DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY);

}
for(int i=0;i<=FOCUS_RADIUS*DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY;++i)
{
    probabilities_sums[i]/=distribution_integral;
    if(i!=0)
        probabilities_sums[i]+=probabilities_sums[i-1];
}
srand(time(0));
ld chosen_x_list[PERCEPTORS_NUMBER];
ld chosen_y_list[PERCEPTORS_NUMBER];
for(int i=0;i<PERCEPTORS_NUMBER;++i)
{

    ld random_value=((double)rand())/RAND_MAX;
    ld best_diff=2;
    int best_ind=0;
    int r=FOCUS_RADIUS*DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY,l=0,m;
    while(r>=l)
    {
        m=l+(r-l)/2;
        if(probabilities_sums[m]>random_value)
        {
            if(m==0)
                best_ind=0;
            else if(probabilities_sums[m-1]<=random_value)
                best_ind=m;

            r=m-1;
        }
        else
            l=m+1;
    }
    ld chosen_radius=((ld)best_ind)/DISTRIBUTION_DISCRETIZATION_FREQUENCY;
    ld chosen_angle=(ld)(rand()%360);
    fprintf(stderr,"%f\n",(float)chosen_angle);
    //chosen_angle=0;

    ld chosen_x,chosen_y;
    chosen_x_list[i]=chosen_radius*cos(dtr(chosen_angle));
    chosen_y_list[i]=chosen_radius*sin(dtr(chosen_angle));
}
printf("%d\n",PERCEPTORS_NUMBER);
for(int i=0;i<PERCEPTORS_NUMBER;++i)
{
    printf("%f %f\n",(float)chosen_x_list[i],(float)chosen_y_list[i]);
}

ld定义为

typedef long double ld;

Answer 1

有一个额外的步骤来创建和数组：

aux[0] = 0
aux[i] = aux[i-1] + probabilities[i-1]

注意，这个数组是单调增加的，aux[i]-aux[i-1] = probabilities[i-1]和probabilities[n] = 1。

在范围(0,1)中绘制一个随机的实数(或双)数(让它是r)，并选择带有索引i这样的that aux[i-1] <= r < aux[i]的焦点。

后者可以使用二进制搜索高效地完成，因为您的数组是排序的。

因此，通过绘制一个均匀分布(0,1)的数字，它就完全有可能在元素i的范围内。