加权最小二乘回归QR分解的hat矩阵

Question

我试图扩展包McSptial的McSptial函数，它适用于非参数估计的回归。在lwr()函数的核心部分，它用solve()代替QR分解来反演矩阵，导致数值不稳定。我想改变它，但不知道如何从QR分解得到帽子矩阵(或其他导数)。

有数据：

set.seed(0); xmat <- matrix(rnorm(500), nrow=50)    ## model matrix
y <- rowSums(rep(2:11,each=50)*xmat)    ## arbitrary values to let `lm.wfit` work
w <- runif(50, 1, 2)    ## weights

lwr()函数如下：

xmat2 <- w * xmat
xx <- solve(crossprod(xmat, xmat2))
xmat1 <- tcrossprod(xx, xmat2)
vmat <- tcrossprod(xmat1)

我需要的价值，例如：

sum((xmat[1,] %*% xmat1)^2)
sqrt(diag(vmat))

目前，我使用的是reg <- lm.wfit(x=xmat, y=y, w=w)，但无法从它中得到我认为是帽子矩阵(xmat1)的东西。

Answer 1

这个老问题是我刚才回答的另一个老问题的延续：Compute projection / hat matrix via QR factorization, SVD (and Cholesky factorization?)。这个答案讨论了计算普通最小二乘问题的帽子矩阵的三个选项，而这个问题是在加权最小二乘的背景下进行的。但答案的结果和方法将是我在这里回答的基础。具体来说，我将只演示QR方法。

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OP提到我们可以使用lm.wfit计算QR因式分解，但我们可以自己使用qr.default来计算，这就是我将要展示的方法。

在我继续之前，我需要指出OP的代码不是在做他想做的事情， xmat1不是帽子矩阵，相反，xmat %*% xmat1是。vmat不是帽子矩阵，虽然我不知道它是什么。那我就不明白这些是什么

sum((xmat[1,] %*% xmat1)^2)
sqrt(diag(vmat))

第二个看起来像hat矩阵的对角线，但正如我所说的，vmat不是hat矩阵。无论如何，我将继续对hat矩阵进行正确的计算，并说明如何得到它的对角线和跟踪。。

考虑一个玩具模型矩阵X和一些一致的、正的权重w。

set.seed(0); X <- matrix(rnorm(500), nrow = 50)
w <- runif(50, 1, 2)    ## weights must be positive
rw <- sqrt(w)    ## square root of weights

我们首先通过对X1 (在乳胶段中的X_tilde)行重新标度来获得X。

X1 <- rw * X

然后对X1进行QR分解。正如我在链接答案中所讨论的，我们可以使用或不带列旋转来完成这个因式分解。lm.fit或lm.wfit因此lm不做旋转操作，但是这里我将使用旋转分解作为演示。

QR <- qr.default(X1, LAPACK = TRUE)
Q <- qr.qy(QR, diag(1, nrow = nrow(QR$qr), ncol = QR$rank))

注意，我们没有像在链接答案中那样继续计算tcrossprod(Q)，因为这是用于普通最小二乘的。对于加权最小二乘，我们需要Q1和Q2

Q1 <- (1 / rw) * Q
Q2 <- rw * Q

如果只想得到hat矩阵的对角线和迹，就不需要做矩阵乘法就能得到完整的hat矩阵。我们可以用

d <- rowSums(Q1 * Q2)  ## diagonal
# [1] 0.20597777 0.26700833 0.30503459 0.30633288 0.22246789 0.27171651
# [7] 0.06649743 0.20170817 0.16522568 0.39758645 0.17464352 0.16496177
#[13] 0.34872929 0.20523690 0.22071444 0.24328554 0.32374295 0.17190937
#[19] 0.12124379 0.18590593 0.13227048 0.10935003 0.09495233 0.08295841
#[25] 0.22041164 0.18057077 0.24191875 0.26059064 0.16263735 0.24078776
#[31] 0.29575555 0.16053372 0.11833039 0.08597747 0.14431659 0.21979791
#[37] 0.16392561 0.26856497 0.26675058 0.13254903 0.26514759 0.18343306
#[43] 0.20267675 0.12329997 0.30294287 0.18650840 0.17514183 0.21875637
#[49] 0.05702440 0.13218959

edf <- sum(d)  ## trace, sum of diagonals
# [1] 10

在线性回归中，d是每个基准的影响，它有利于生成置信区间(使用sqrt(d))和标准化残差(使用sqrt(1 - d))。跟踪，是模型的有效参数数或有效自由度(因此我称之为edf)。我们看到了edf = 10，因为我们使用了10个参数：X有10个列，而且它不缺秩。

通常，d和edf是我们所需要的。在罕见的情况下，我们想要一个完整的帽子矩阵。为了得到它，我们需要一个昂贵的矩阵乘法：

H <- tcrossprod(Q1, Q2)

Hat矩阵在帮助我们理解模型是否是局部的/稀疏的非。让我们绘制这个矩阵(有关如何以正确的方向绘制矩阵的详细信息和示例，请参阅?image )：

image(t(H)[ncol(H):1,])

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我们看到这个矩阵是完全稠密的。这意味着，对每个数据的预测取决于所有数据，即预测不是局部的。与核回归、黄土、P样条(惩罚B样条回归)、小波等非参数预测方法进行比较，发现稀疏帽子矩阵。因此，这些方法被称为局部拟合。