一桶一桶的球，如果我再加一个球，一桶能装满吗？

Question

我知道这个标题有点奇怪。但这是一个统计问题，我正在努力解决，但很难解决。(不，不，这不是作业，真正的解释见底部)

前提很简单。你有N个桶。每个水桶可以装H个球。没有一个桶满了。你已经有D球在桶里了，但是你不知道球在哪里(你忘了！)你随机选择一个水桶来增加一个球。那么桶装满的概率有多大。

一些例子可能的图表，N= 4，H= 3，D= 4。每一种情况都只是假设球的排列。很多案子中的一个。

Scenario 1: 1 bucket could be filled.
|   |   |   |   |
+ - + - + - + - +
| B |   |   |   |
+ - + - + - + - +
| B | B |   | B |
+ - + - + - + - +

Scenario 2: 2 buckets could be filled.
|   |   |   |   |
+ - + - + - + - +
|   | B | B |   |
+ - + - + - + - +
|   | B | B |   |
+ - + - + - + - +

Scenario 3: 0 buckets could be filled.
|   |   |   |   |
+ - + - + - + - +
|   |   |   |   |
+ - + - + - + - +
| B | B | B | B |
+ - + - + - + - +

问题是我需要一个P= f(N，H，D)形式的通用方程。

好吧，你已经调到这一步了。这个关于数学的查询背后的原因，是我对单元之间的大规模战斗感到好奇。每个单位可以属于一个旅，其中包含许多相同类型的单位。然而，随着时间的推移，这场战斗将缓慢进行。在战斗的每个阶段，状态都将保存到DB中。我不想拯救每一个单位和每个单位的健康，我想保存单位的数量和对旅的总伤害。当伤害加到一个旅中时，f(N，H，D)被运行，并且返回一个单位被摧毁的%的几率(其所有的HP都用完了)。这就将该单位从旅中移除，N减少1，D减少H。

在你对这个想法进行过多的批评之前。请记住，如果您有庞大的大军，这类信息不能有效地存储在一个小型DB中，而且由于Web的限制，我不能同时将所有单元的数据保存在内存中。不管怎样，谢谢你的想法。

Answer 1

我相信这归结为第一个桶容纳H1球的概率(因为你的概率实际上是你选择把一个球扔进去的概率)。我猜这应该可以用组合数学来解决，但这不是我的优点。

顺便提一句:这不是统计问题，而是概率问题。

Answer 2

如果您可以为每个旅存储每个可能的h的有h命中的单位的nh，那么问题就变得直接了:在概率nh/N的情况下，您选择一个具有h命中的单位，然后增加nh+1和递减nh，或者如果选择h=max-1，则减少nh和N。

如果您负担不起额外的内存，则最大熵分布将是一个合理且易于处理的选择，例如，请参见这里