加权博弈结果的公式/算法

Question

我有一个有趣的概念问题，我想知道是否有人能帮我量化它。基本上，我在玩一套游戏.对于每一场比赛，我都知道我赢的概率，我会打成平局的概率，以及我输的概率(每场比赛都有不同的概率)。

在高层次上，我想知道的是:我应该把注意力集中在哪些游戏上？例如，我不会把任何精力投入到我有0%获胜机会的游戏中(或者我有100%获胜机会的游戏)。但是对于一场50/50的比赛，我会非常关心，并且想要付出最大的努力。如果没有关系，那就像：“关心能力”=我赢得50%的机会有多近？但有了领带，事情就变得复杂了。

我不确定这是绝对必要的，但是如果你需要的话，你可以假设一场胜利是0，一场平局会给你1分，一场胜利会给你2分。换句话说，从一场输到一场平局是一样有价值的，就像从一场平局到一场胜利一样。

你也可以假设所有游戏都是独立的。基本上，我只是在寻找“护理能力”的定量度量(例如，从0到1的一个值)。

有谁能想到怎么处理这种事吗？如果你是一个经济人，你可以想象我有有限的钱可以花在提高我赢得比赛的机会上。你将如何分配这些钱在整个游戏，以最大化您的预期结果？

提前感谢！

编辑:对不起，我已经意识到这是一个措辞很差的问题。我没有具体说明额外投资和产生的结果之间的关系。我想假设这是一个线性关系，但是在这种情况下，你投资哪个游戏并不重要，因为它总是以同样的方式增加你的期望值。我的实际问题有点复杂，我需要重新考虑一下。感谢大家的帮助和提供了伟大的想法！！

Answer 1

您可以将其表述为一个受限的优化问题。

我现在要忽略抽签.

所以你需要做的是首先让a_i成为你在游戏i上的花费。

我赢得比赛的机会大概是a_i的一个函数。叫它p_i(a_i)

你对游戏I的预期支出是2* p_i(a_i)

因此，您的预期支出总额为P= 2* Sum( p_i(a_i) )。

你对你的花费有一些限制.和(A_i)=A

你的目标是在受约束的情况下使P最大化。

用拉格朗日方法，给出了N+1方程同时求解的未知数a_i和lambda。

像这样的n个方程：

 2 p_i'(a_i) = lambda  

和一个约束方程

 sum(a_i) = total

如何解决这些问题将取决于您的p_i函数的结构。根据您的结构或p_i函数，您可能需要引入每个a_i > 0的访问约束。我试图构造我的p_i，以避免这一点，因为它使得求解方程更加困难。

如果你想引入一个平局的机会，你可以把你的p_i(a_i)分成w_i(a_i)和d_i(a_i)，然后把每个游戏的支出改为2* w_i(a_i) +1* d_i(a_i)。虽然这并没有改变任何核心数学。

Answer 2

，但对于一场50/50的比赛，我会非常关心，并想投入到最大的努力。如果没有关系，那就像：“关心能力”=我赢得50%的机会有多近？但有了领带，事情就变得复杂了。

我不这样认为。如果你在寻找一种50/50获胜机会的游戏，它不是只是在计算“我赢得的几率有多近，再加上一半的机会将与50%打成平手”--还是我没有回答你的问题？

编辑：

公式将如下所示：

x = 1 - abs(0.5-abs(win% + tie%/2));
                 ^ the inner 'abs' here may be useless, but i'm not sure ;)

Answer 3

我认为你需要考虑的最明显的事情是，改变概率需要多少资源(努力，美元，什么)？

使用美元作为一个简单的例子，如果你有一个游戏，你现在有0%的机会获胜，但1美元将给你50%的机会获胜，那么这是一个更好的选择，如果1美元将使50%的机会赢得，成为一个99%的机会。

从广义上讲，我认为你需要在每场比赛的赢/平/输中应用一个值(正如你已经提到的)。然后，你可以计算出你目前的预期总价值(如50%的胜利，25%的平局和25%的损失将给0.5*2+0.25*1+0.25*0 =1.25分)。这样做的目的是利用你所有的资源尽可能地提高总期望值。

最后一步完全依赖于您的资源才能成功。对此函数的分析可能会使其成为一个简单的解决方案。

一些例子努力公式：

1)线性-一个资源单位将增加你在X中获胜和平局的可能性。

这将意味着，只要你还没有消除失败的机会，你把精力放在哪里并不重要。把精力投入到你可能输掉的任何游戏中。

2)相反--你赢/抽的机会越小，你的利益就越高。

如果一个单位的努力产生的“X/赢机会”增加，以赢得机会，那么你显然会得到最大的好处，从你的最坏的游戏。

( 3)中点趋势--你越接近于一个相等的胜负，你就越受益。

这模拟了这样一个事实:如果你很有可能赢，或者很有可能输，那么最不可能改进(如果有人比你好得多，那么努力可能并不重要)。在这种情况下，您可能希望集中精力于那些几乎等于赢/失去机会的人，试图获得最大的增加。

我希望这是合理的。:)