用python求解耦合PDE

Question

我不明白如何用python或python ode求解器来求解耦合PDE方程中的eta和V。(或者不需要解就可以对这些耦合方程进行数值解吗？)我花了好几天时间在这上面，但我还是不明白怎么开始！任何暗示都会有帮助。我理解下面的例子

Solve 4 coupled differential equations in MATLAB

但是，我仍然需要更多的提示来找出如何将这些原则应用到下面耦合的PDE中。

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我想画一个eta和V的时间序列，考虑到τ的不同时间序列的强制输入。

X是空间中的一个点，t是一个时间点。H和f是根据x的值分配的。

V= V(x，t) eta = eta(x，t)τ=τ(x，t) h= h(x)，f= f(x)，g和rho是常数。边界值为V( 0，0 ) =0，eta(0,0)=0，τ(0，0)=0。在稳态条件下，通过tau_sy和tau_by的等价物求出解(V)。

Answer 1

好的，这是一个比较简单的数值格式，它显示了你的系统的概念属性。它类似于(显式)欧拉方法。它可以很容易地推广到类似的隐式Euler类方法。

你得到的是：

函数h(x)、f(x)、tau_sx(x, t)、tau_sy(x, t)和tau_by(x, t)

常数g和rho

你在寻找：

满足上述微分方程对的函数V(x, t)和eta(x, t)。

为了能够找到解决这个问题的方法，你需要：

V(x, 0) = V0(x)和eta(0, t) = eta0(t)

假设您的域是[0, L] X [0, T]，其中x在[0, L]中，t在[0, T]中。将域分解为:选择M和N正整数，并让dx = L / M和dt = T / N。然后只考虑任意整数的有限点集x = m dx和t = n dt，m = 0, 1, ..., M和n = 0, 1, ..., N。

我将限制上面定义的有限点集上的所有函数，并对任意函数funct使用以下表示法

funct(x, t) = funct[m, n]和funct(x) = funct[m]表示任何x = m dx和t = n dt。

然后，将微分方程组离散为

g*(h[m] + eta[m,n])*(eta[m+1, n] - eta[m,n])/dx = f[m]*(h[m] + eta[m,n])*V[m,n] + tau_sx[m,n]/rho

(V[m, n+1] - V[m,n])/dt = (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

eta[m+1,n]和V[m,n+1]的解决方案

eta[m+1,n] = eta[m,n] + f[m]*V[m,n]*dx/g + tau_sx[m,n]*dx/(g*rho*(h[m] + eta[m,n]))

V[m,n+1] = V[m,n] + (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])*dt/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

为了简单起见，我将上述方程的右边缩写为

eta[m+1,n] = F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n])

V[m,n+1] = F_V(m, n, eta[m,n], V[m,n])

也就是说，就像

def F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n]):
    return eta[m,n] + f[m]*V[m,n]*dx/g + tau_sx[m,n]*dx/(g*rho*(h[m] + eta[m,n]))

def F_V(m, n,  eta[m,n], V[m,n]):
    return V[m,n] + (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])*dt/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

从边界条件来看，我们知道

eta[0,n] = eta0[n] = eta0(n*dt)和

V[m,0] = V0[m] = V0(m*dx)

作为输入，用于m = 0,..., M和n = 0,..., N。

for n in range(N):
    for m in range(M):
        eta[m+1,n] = F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n])
        V[m,n+1] = F_V(m, n, eta[m,n], V[m,n])

(你必须调整这些回路才能到达最右边和上边界点，但哲学不变)

基本上，您遵循这样的模式:沿水平x轴生成etas，同时生成一个V1层。然后你移动到下一个水平水平。

o --eta--> o --eta--> o --eta--> o --eta--> o
|          |          |          |          | 
V          V          V          V          V
|          |          |          |          |
o --eta--> o --eta--> o --eta--> o --eta--> o