理解在不同宽度的高斯下卷积/反卷积时的行为

Question

我对StackExchange相当陌生，所以我希望我的格式是正确的！

我一直试图通过FFT更好地理解卷积/反褶积对Python的影响。

目前，我有一个波形和一个σ=14的高斯PDF。通过快速傅立叶变换分解它们给出这个潜在的信号。如果我把这个信号转换成高斯信号，参数相同，我就会得到原来的波形，就像预期的那样。

然而，我正在努力解决的当前问题是，为什么当我将底层信号与一个不同的https://imgur.com/a/U7lvn7q：σ转换为高斯时，我的新波形的形状发生了如此剧烈的变化？

如果将σ从14 (用于用原始波形反卷积的高斯方程的原始参数)改为12，则新波形的尾部波动更大，行为更不稳定，但总体形状与原始波形的形状相似。但是，当我将从14改为20或从14改为10，并将高斯与底层信号相转换时，得到的波形看起来不像原始波形那样。

是什么导致了这些剧烈的变化？这是高斯PDF的一些潜在属性吗？我对卷积/反褶积和FFT/iFFT的数学有很好的掌握，但我希望有人能帮助我理解这些波形形状变化的原因！非常感谢。

#reading in the arrays from the txt file for the waveform

    mu = 9,990
    sig = 14
    totArea = 0
    time_array = [] 
    charge_array = []

    for i in range(len(file)):
        t = f[i][0]
        a = f[i][1]
        totArea += a
    tot = totArea * 3.3

#defining a Gaussian function with given mu and sigma

    def gaussfn(t,sig,mu):
        return np.exp((-(t-mu)**2)/(2*sig**2))

    result_orig = integrate.quad(lambda t:gaussfn(t,sig,mu),
    (mu-3*sig),(mu+3*sig))
    amp_orig = tot/result_orig[0]
    array_orig = amp_orig * gaussfn(time_array,sig,mu)

#deconvolving waveform and Gaussian via FFT to get the underlying signal

    gauss_orig_fft = np.fft.fft(array_orig)
    waveform_fft = np.fft.fft(charge_array)
    decon_orig = waveform_fft/gauss_orig_fft

    signal = np.fft.ifft(decon_orig) 

#defining a new Gaussian function of a different width

    new_sig = 10
    def gaussfn(t,new_sig,mu):
        return np.exp((-(t-mu)**2)/(2*new_sig**2))

    result_new = integrate.quad(lambda t:gaussfn(t,new_sig,mu),
    (mu-3*new_sig),(mu+3*new_sig))
    amp_new = tot/result_new[0]
    array_new = amp_new * gaussfn(time_array,new_sig,mu)

#using FFT to convolve the underlying signal (above) with a
Gaussian of a different sigma to get a new waveform

    gauss_new_fft = np.fft.fft(array_new)
    signal_fft = np.fft.fft(signal)
    convolution_new = signal_fft * gauss_new_fft
    new_waveform = np.fft.ifft(convolution_new)

Answer 1

你们对反褶积的实施：

decon_orig = waveform_fft/gauss_orig_fft

对噪音非常敏感。图gauss_orig_fft。你会看到，在一个大的频率区域(这些是高频)，它几乎为零。特别是在高频时，信号含量通常很少，这意味着这里的噪声占主导地位。通过将这些频率除以如此小的值，你会非常强烈地增强这种噪音。因此，你的去旋信号是由噪声控制的。请注意您的反卷积信号的大小，它比输入大一个数量级！

为了避免这种情况，请查看维纳滤波器。它做的基本上是你正在做的事情，但规范化的结果，以避免提高噪音。

关于高斯滤波的输出，您会注意到，对于接近14的σ，您再次近似于原始信号。对于较小的西格玛，平滑度较低，噪声仍然占主导地位。对于更大的西格玛，一切都被压制得更多，但仍然有一点噪音。不幸的是，我们无法看到信号的幅度降低，因为你的卷积核没有标准化。你应该把array_new除以它的和，使它的总和达到1。这使得它使平均信号值在滤波前后保持不变，并允许您比较滤波前后信号的大小。

第二个问题是您的内核不是围绕原点的。这会导致滤波后信号的偏移。由于DFT的周期性，信号基本上环绕在周围。在DFT中，原点是信号的第一个样本。信号是周期性的，高斯部分出现在左端，部分出现在右端，这样，如果你重复信号，你就能看到整个高斯。通过这种方式定义内核，应用过滤器后不应该出现移位。