从非线性寻根到多目标优化

Question

为了简化，假设我可以用

变量x1和x2，

参数p1和p2，以及

约束f(x, p) = 0和g(x, p) = 0

例如：

f(x1, x2, p1, p2) = x1^2 * p1 + x1^2 * p2 + x2 = 0

g(x1, x2, p1, p2) = x2^2 * p2 + x1 * p1 = 0

现在，假设给定参数p1和p2的真实值，根就存在。然而，在我的例子中，参数的确定是不完美的，像scipy.optimize's fsolve这样的非线性寻根器是不成功的，它可以将参数作为变量输入并试图找到根，但是将变量和参数增加一个数量级，就像在我的实际系统中一样，这些约束变得很难被尊重。

因此，我一直在研究python中的优化包，这些包可以“解决”我的一组非线性方程组。这也是我对优化缺乏理解的地方。

如果我正确地理解了，正如所假设的，我的方程是约束，这意味着它们必须得到尊重，我的设计才能成功。但是，我已经意识到，由于参数的不完美性(或大量可能的变量)，我需要有一个(或几个)目标函数来最小化，而不是约束。

描述我的系统的所有方程都具有同等的有效性，所以我不认为我可以简单地选择一个或几个方程作为目标函数，其余的作为约束。看起来我需要把所有的方程作为目标函数。

因此，我有两个问题：

1. 我的逻辑是把我的所有方程作为目标函数有效吗？
2. 什么样的python包可以让我最小化这些目标函数？

我看过cyipopt、casadi、pyomo和DEAP，但我有点迷路了。我认为，一旦我的系统模型得到了更好的定义，我将确切地知道该寻找什么。但是，如果可以为我的简单示例提供代码，我将非常感激。

P.S:我现在的模型有11个变量和11个5个参数(5个系数代表每个变量的4次多项式)。如果有必要，我还可以在优化包中向变量添加约束。

Answer 1

用方程式：

e1 = x1**2 * p1 + x1**2 * p2 + x2
e2 = x2**2 * p2 + x1 * p1

可以将方程组解为硬约束(相等形式)：

m.Equation(e1==0)
m.Equation(e2==0)

或作为软约束(最小化目标)：

m.Minimize(e1**2)
m.Minimize(e2**2)

这种方法适用于Pyomo、CasADi和Gekko。下面是一个使用这两种方法的盖科示例：

from gekko import GEKKO    
import numpy as np
m = GEKKO()
x = m.Array(m.Var,2,value=2)
x1,x2 = x
p = m.Array(m.Param,2,value=1)
p1,p2 = p
e1 = x1**2 * p1 + x1**2 * p2 + x2
e2 = x2**2 * p2 + x1 * p1

# approach #1
m.Equation(e1==0)
m.Equation(e2==0)

# approach #2
m.Minimize(e1**2)
m.Minimize(e2**2)

m.options.SOLVER=1
m.solve()
print('x: ', x)
print('Objective: ',m.options.OBJFCNVAL)

在这种情况下，通过使用其中一个或另一个(或两者)，解决方案是相同的。如果这是一个大规模的优化问题，求解器可能不会在软约束下将e1或e2降到零。有时，两者兼而有之，可以帮助解决者找到解决方案。