如何在广义加权残差法中附加边界条件(Chebyshev Galerkin模态形式)

Question

我正致力于将广义加权残差法与RK4相结合。GWRM部分将PDE分解到谱空间，其中未知数为Chebyshev系数a_k。然而，我很难理解如何在这种情况下包含边界条件。在其他谱方法中，物理网格被包括在内，因此边界条件可以显式地设置，也可以包含在Chebyshev微分矩阵中。另一方面，我所掌握的唯一信息是边界处的解之和，但边界取决于整个解。因此，在每个RK4步骤中，边界从未显式设置过。

下面是我正在解的这首诗的简短推导。有没有人对如何包括边界条件有任何想法？

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请记住，A、b和c都是向量。素指第一和项除以2。

得到的方程是可以用rk4离散的函数。

这是我目前对BCs是如何实现的理解，但随着时间的推移，解离真正的边界条件越来越远。

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当K和K-1模最高时，Chebyshev系数可以代替边界方程，

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Answer 1

答案(75%肯定？)即由于谱空间中不存在显式边界条件，所以不可能采用显式时间积分格式。无论是基函数必须满足边界条件，还是需要显式设置边界条件。

若要使用GWRM求解偏微分方程，要么需要在谱分解中包含时域，然后求解一组线性/非线性代数方程组，要么使用隐式时间积分格式，如向后欧拉或隐式RK4。

隐式方法之所以有效，而不是显式方法，是因为在隐式方法中，下一时间步长的切比雪夫系数出现在方程的两边。因此，你可以用最高的模式来代替边界条件，然后迭代到Chebyshev系数的下一步，满足PDE和边界条件。