R:具有趋势和约束系数的聚合Cobb-Douglas生产函数估计

Question

我的目标是在R中估计以下方程：

Y_t = const + alpha_1 * (labor_t + theta_1 * trend1_t + theta_2 * trend2_t) + (1 - alpha_1) * capital_t

我尝试了以下几种方法：

library(stats4)

LL <- function(par){
  beta0 <- par[1]
  alpha1 <- par[2]
  theta1 <- par[3]
  theta2 <- par[4]
  sigma2 <- par[5]
  
  rhs <- beta0 + alpha1 * (log_lab + theta1*t80 + theta2*t95) + (1-alpha1)*log_cap
  # rhs <- beta0 + alpha1 * log_lab + (1-alpha1)*log_cap
  lhs <- y
  
  rval <- sum(-lhs + dnorm(lhs, mean = rhs, sd = sqrt(sigma2), log = TRUE))
  
  return(-rval)
}

par0 = as.vector(c(4.5, 0.65, 0.0014, 0.0023, 0.01)) 

fit <- optim(par0, LL, hessian = TRUE, 
             method = "L-BFGS-B", lower = 0.00001, upper = 10)
summary(fit)

不幸的是，我发现了以下错误：Error in optim(par0, LL, hessian = TRUE, method = "L-BFGS-B", lower = 1e-05, : non-finite finite-difference value [5]

我已经使用MLE()和其他规范尝试了不同的方法，但都没有成功。如何解决估计具有约束系数的最小二乘回归的问题，即alpha_1 * beta_1 = 1，使得beta_1 == (1-α_1)？

Answer 1

可以使用以下线性模型：

 Y1(t) = α0 + α1*L1(t) + β1*T(1,t) + β2*T(2,t)
 where
   Y1(t) = Y(t)-C(t)
   L1(t) = L(t)-C(t)      

然后恢复：

  θ1 = β1/α1
  θ2 = β2/α1 

(如果这是正确的，请检查数学)