朱莉娅的二阶颂歌给出了错误的结果

Question

我正在尝试使用julia提供的DifferentialEquations.jl，它工作正常，直到我尝试在二阶常微分方程上使用它。例如，考虑二阶常微分方程

x''(t) = x'(t) + 2* x(t)，带初始条件

x'(0) = 0，x(0) =1

它有一个解析解: x(t) =2/3exp(-t)+1/3exp(2t)。

为了从数值上解决这个问题，我运行以下代码：

using DifferentialEquations;

function f_simple(ddu, du, u, p, t)
    ddu[1] = du[1] + 2*u[1] 
end;

du0 = [0.]
u0 = [1.]
tspan = (0.0,5.0)
prob2 = SecondOrderODEProblem(f_simple, du0, u0, tspan)
sol = solve(prob2,reltol=1e-8, abstol=1e-8);

有了这些，

sol(3)[2] = 122.57014434362732

而解析解的结果是134.50945587649028，所以我在这里有点迷惑。

Answer 1

根据the documentation for DifferentialEquations.jl的说法，Vern7()适合于非刚性方程的高精度解：

sol = solve(prob2, Vern7(), reltol=1e-8, abstol=1e-8)
julia> println(sol(3)[2])
134.5094558872943

在我的机器上，这与解析解非常接近。我不太确定使用的默认方法是什么:文档表明solve有一些方法可以在没有指定求解器的情况下选择适当的求解器。

有关Vern7()的更多信息，请访问Jim Verner's page on Runge-Kutta algorithms。