Python中的快速傅立叶变换性能

Question

因此，我编写了一个简短的Python程序来评估Python的FFT方法的准确性。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Aufgabe 1
x0=0
a=2.5
k0=3
X=np.linspace(-4,4,100)
timestep=0.1
k=np.fft.fftfreq(X.size,d=timestep)
psi_analytical=[(2/(np.pi*a**2))**(1/4)*np.exp(-((i-x0)**2)/a**2)*np.exp(1j*k0*(i-x0)) for i in X]
psi_tilde_numerical=np.fft.fft(psi_analytical)
psi_tilde_analytical=[(2/(np.pi*a**2))**(1/4)*(a/2)*np.exp(-(a*(i-k0))**2/4)*np.exp(-1j*i*x0) for i in k]
psi_numerical=np.fft.ifft(psi_tilde_analytical)


#plt.plot(k,np.abs(psi_tilde_numerical),label='numerical psi tilde')
#plt.plot(k,np.abs(psi_tilde_analytical),'--',color='tab:orange', label='analytical psi tilde')

plt.plot(X,np.abs(psi_analytical),label='analytical psi, real')
plt.plot(X,np.abs(psi_numerical),'--',color='tab:orange',label='numerical psi, real')
plt.legend()
plt.show()

解析函数如下：

​

​

令我惊讶的是，数值函数和解析函数完全不同。然而，我不确定为什么会这样。

归一化常数N为(2/(np.pi*a**2))**(1/4)

Answer 1

再研究一下，我想我可能会给你一个答案。

离散傅立叶变换(DFT)是利用快速傅立叶变换算法(FFT)有效地计算离散时域信号的一种方法。傅立叶变换(FT)在连续的时域中对函数进行运算。

在一定条件下，DFT近似于FT。其中一个条件是信号必须是带宽受限的。这意味着对于高于某个频率阈值α的所有频率，该函数的FT必须为零，并且必须具有至少为2*α的采样率，这将返回到Nyquist-Shannon sampling theorem。

在您的例子中，您正在尝试近似一个没有带宽限制的高斯函数exp(-x²)。这是因为，正如您从公式中看到的，高斯的FT也是高斯的。这意味着它有可以忽略但非零的频率分量，一直到无穷大。因此，您将无法使用DFT近似FT，因为您将需要具有无限采样率。

总之，重要的是要认识到DFT和FT是截然不同的转换，因此不能简单地进行比较。