对于已知的解析函数，高斯求积总是一个好的选择吗？

Question

高斯求积的局限性是什么？我知道，例如，如果我在积分一个数据集，高斯求积将不是最好的选择，但如果我从解析的角度知道函数，是否有任何大的限制？WolframMathWorld说，对于已知的解析函数，高斯总是比牛顿-柯特斯求积更好，即使对于更复杂的函数，这也总是正确的吗？

在过去的几天里，我搜索了很多。因为我主要解决物理问题，所以我总是知道要积分的函数的解析形式。在学校，他们更专注于牛顿-柯特斯公式，但我认为它太慢了。最近我尝试用Gauss-Legendre积分法来积分一个涉及多项式、指数和一些修正的第二类贝塞尔函数的函数。我将结果与一些牛顿-柯特斯公式进行了比较，它看起来很好，而且速度快得多，但我仍然不知道我是否总是可以信任高斯求积，特别是对于更复杂的函数，还是会有一段时间它会让我大失所望？

还有一个问题，使用特定的高斯求积有什么优势吗？例如，高斯-拉盖尔，或者我会得到同样的结果，通过积分极限的变化和使用高斯-勒让德求积？

Answer 1

高斯求积的定义特征是它精确地将多项式积分到给定的次数。这样做的想法是，对于“接近”多项式的函数，它也可能做得很好。程度越高，该方法越能更好地将功能与尖锐的特征相结合。但是，如果您的函数具有不连续性、极点、高度振荡或在其他方面表现不同于多项式，则高斯求积将失败。

如果你的函数可以被分解成看起来像多项式的部分--对你有好处！你只需对这些部分应用高斯求积。(这就是自适应积分器所做的。)

例如，高斯-拉盖尔，或者我将得到相同的结果与积分极限变化和使用

-勒让德求积？

同样，“高斯”实际上只是指“精确到一定的多项式次数”。Legendre和Laguerre集成了不同类型的函数；Hermite是另一种类型。