如何定义概率分布

Question

我有一个小问题，如果你能给我一个解决方案或者任何想法来解决以下的概率分布，我将非常高兴:我有一个随机变量x，它遵循参数为lambda1的指数分布，我还有一个变量y，它遵循参数为lambda2的指数分布。Z是一个离散值，我如何在下面的公式中定义k的概率分布？

k=z-x-y

非常感谢

Answer 1

好的，让我们从重写公式开始：

k = z-x-y = -(x-y) + z = - (x + y + -z)

括号中的部分看起来是可管理的。让我们从x+y开始。对于随机变量x和y，如果想要找出它们的和，答案是PDF卷积。

q = x+y

PDF(q) = S PDFx(q-t) PDFy(t) dt

其中S表示集成。对于x和y是指数的，当λ不同时，卷积积分是已知的，并且等于表达式here，或者当λ相等时，等于Gamma(2，λ)，Gamma是Gamma distribution。

如果z是某个恒定的离散值，那么我们可以将其表示为连续的RV

PDF(t) = (t+z)

Delta function在哪里，我们考虑到-z会像预期的那样达到顶峰。它是归一化的，因此t上的积分等于1。它可以很容易地扩展到离散RV，作为这些值的-functions之和，乘以概率，使它们的和等于1。

同样，我们有两个RV的和，具有已知的-function，解决方案是卷积，由于PDF的属性，卷积很容易计算。所以x + y + -z的最终版本应该是

PDF(q+z) dq

其中PDF取自指数分布维基的总和表达式，伽马分布取自伽马维基。

你只需要否定，仅此而已