生成8x8维的正定矩阵

Question

我正在尝试生成一个8x8维的正定矩阵(A'*A)。其中A是1x8。

我尝试了许多随机生成的矩阵A，但不能生成它。

octave-3.6.1.exe:166> A= (rand(1,8)+rand(1,8)*1i);
octave-3.6.1.exe:167> chol(A'*A);
error: chol: input matrix must be positive definite

有人能告诉我这里出了什么问题吗？提前感谢您的帮助。

Answer 1

这是不可能的，因为没有那种形式的矩阵是正定的。

声明:给定一个1xn (实数，n>1)矩阵A，对称矩阵M= A'A不是正定的：

证明：By definition，M是正定的当且仅当x‘Ax对所有非零x都是正定的当且仅当x'A'Ax = (Ax)'Ax = (Ax)^2 = (A_1 x_1 + ... + A_n x_n) >0对所有非零x.

由于实值A_i为linearly dependent，因此存在x_i，而不是全零，使得A_1 x_1 + ... + A_n x_n = 0。我们找到一个非零向量x，使得x‘M= 0，因此M不是正定的。

可以直接应用于复数情况的另一种证明是:设A是1xn (复数，n>1)矩阵。正定性意味着可逆性，因此M= A*A必须有满秩才是正定的。它显然是秩为1的，所以它不是可逆的，因此也不是正定的。

Answer 2

下面是我创建SPD矩阵的例程

1)创建随机对称矩阵

2)确保所有对角线的值大于它们所在的任何行或列的总和。

通常对于( 1 )，我使用0到1之间的随机数。然后很容易找出一个数字来用于每个对角线条目。

干杯,