辛积分器的帮助

Question

我正在尝试开发一个物理模拟，我想实现一个四阶symplectic integration方法。问题是我一定是把数学搞错了，因为我的模拟在使用辛积分器时根本不工作(与四阶Runge-Kutta积分器相比，它在模拟中工作得相当好)。我已经在谷歌上搜索了很久，我能找到的都是关于这个主题的科学文章。我试着改写文章中使用的方法，但没有成功。我想知道是否有人有利用辛积分器进行模拟的源代码，最好是用来模拟引力场，但任何辛积分器都可以。源代码是什么语言并不太重要，但我会喜欢使用C风格语法的语言。谢谢!

Answer 1

正如您所要求的源代码:您可以从HERE下载用于哈密顿系统的辛方法和用于可逆问题的对称方法的MATLAB和FORTRAN代码。还有很多处理diff方程的其他方法。

在THIS的论文中，你可以找到算法的描述。

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如果你使用Mathematica，this可能也会有所帮助。

Answer 2

下面是基于Verlet方案的四阶合成方法的源代码。$\log_{10}(\Δt)$与$\log_{10}(错误)$的线性回归将显示斜率为4，正如理论所预期的那样(见下图)。更多信息可以在here、here或here上找到。

#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

const double total_time = 5e3;

// Parameters for the potential.
const double sigma = 1.0;
const double sigma6 = pow(sigma, 6.0);
const double epsilon = 1.0;
const double four_epsilon = 4.0 * epsilon;

// Constants used in the composition method.
const double alpha = 1.0 / (2.0 - cbrt(2.0));
const double beta = 1.0 - 2.0 * alpha;


static double force(double q, double& potential);

static void verlet(double dt,
                   double& q, double& p,
                   double& force, double& potential);

static void composition_method(double dt,
                               double& q, double& p,
                               double& f, double& potential);


int main() {
  const double q0 = 1.5, p0 = 0.1;
  double potential;
  const double f0 = force(q0, potential);
  const double total_energy_exact = p0 * p0 / 2.0 + potential;

  for (double dt = 1e-2; dt <= 5e-2; dt *= 1.125) {
    const long steps = long(total_time / dt);

    double q = q0, p = p0, f = f0;
    double total_energy_average = total_energy_exact;

    for (long step = 1; step <= steps; ++step) {
      composition_method(dt, q, p, f, potential);
      const double total_energy = p * p / 2.0 + potential;
      total_energy_average += total_energy;
    }

    total_energy_average /= double(steps);

    const double err = fabs(total_energy_exact - total_energy_average);
    cout << log10(dt) << "\t"
         << log10(err) << endl;
  }

  return 0;
}

double force(double q, double& potential) {
  const double r2 = q * q;
  const double r6 = r2 * r2 * r2;
  const double factor6  = sigma6 / r6;
  const double factor12 = factor6 * factor6;

  potential = four_epsilon * (factor12 - factor6);
  return -four_epsilon * (6.0 * factor6 - 12.0 * factor12) / r2 * q;
}

void verlet(double dt,
            double& q, double& p,
            double& f, double& potential) {
  p += dt / 2.0 * f;
  q += dt * p;
  f = force(q, potential);
  p += dt / 2.0 * f;
}

void composition_method(double dt,
                        double& q, double& p,
                        double& f, double& potential) {
  verlet(alpha * dt, q, p, f, potential);
  verlet(beta * dt, q, p, f, potential);
  verlet(alpha * dt, q, p, f, potential);
}

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Answer 3

我从事的是加速器物理(同步加速器光源)领域，在模拟穿过磁场的电子时，我们经常使用辛积分器。我们的基本主力是一个4阶辛积分器。正如上面的评论所指出的，不幸的是，这些代码并没有那么好地标准化，也没有那么容易获得。

一个基于Matlab的开源跟踪代码叫做Accelerator Toolbox。有一个名为atcollab的Sourceforge项目。在这里看到一个凌乱的维基https://sourceforge.net/apps/mediawiki/atcollab/index.php?title=Main_Page

对于积分器，你可以在这里查看：https://sourceforge.net/p/atcollab/code-0/235/tree/trunk/atintegrators/积分器是用C编写的，带有指向Matlab的MEX链接。由于电子是相对论的，动力学和势项看起来与非相对论情况略有不同，但人们仍然可以将哈密顿量写成H=H1+H2，其中H1是漂移，H2是踢(例如来自四极磁铁或其他磁场)。