简单的基于物理的移动

Question

我正在开发一个2D游戏，我试图使用一些基本的物理代码将物体加速到最高速度。

下面是它的伪代码：

const float acceleration = 0.02f;
const float friction     = 0.8f;  // value is always 0.0..1.0
      float velocity     = 0;
      float position     = 0;

move()
{
   velocity += acceleration;
   velocity *= friction;
   position += velocity;
}

这是一种非常简单的方法，它不依赖于质量或实际的摩擦力(代码中的摩擦力只是作用于运动的一般力)。它起到了"velocity *= friction;“部分的作用，可以防止速度超过某一点。然而，正是这种最高速度和它与加速度和摩擦力的关系让我有点迷失。

我想要做的是设置一个最高速度，以及达到它所需的时间，然后用它们来推导加速度和摩擦力值。

即，

const float max_velocity = 2.0; 
const int   ticks;       = 120; // If my game runs at 60 FPS, I'd like a 
                                // moving object to reach max_velocity in 
                                // exactly 2 seconds.
const float acceleration = ?
const float friction     = ?

Answer 1

我发现这个问题非常有趣，因为我最近做了一些关于带阻力的抛射运动建模的工作。

点1:您实际上是在使用explicit/forward Euler iteration更新位置和速度，其中状态的每个新值都应该是旧值的函数。在这种情况下，您应该先更新位置，然后再更新速度。

要点2: the effect of drag friction有更真实的物理模型。一种模型(由Adam Liss建议)涉及与速度成比例的阻力(称为斯托克斯阻力，通常适用于低速情况)。我之前建议的阻力与速度的平方成正比(称为平方阻力，通常适用于高速度情况)。我将讨论如何推导出最大速度的公式，以及有效地达到最大速度所需的时间。我将忽略完整的派生，因为它们相当复杂。

更新速度的方程式为：

velocity += acceleration - friction*velocity

它代表下面的微分方程：

dv/dt = a - f*v

使用this integral table中的第一个条目，我们可以找到解决方案(假设t=0时v= 0)：

v = (a/f) - (a/f)*exp(-f*t)

最大(即终端)速度出现在t >> 0时，因此方程中的第二项非常接近于零，并且：

v_max = a/f

关于达到最大速度所需的时间，请注意，方程永远不会真正达到它，而是逐渐接近它。然而，当指数的自变量等于-5时，速度大约是最大速度的98%，可能足够接近到认为它相等。然后，您可以将达到最大速度的时间近似为：

t_max = 5/f

然后，您可以使用这两个方程来求解给定所需vmax和tmax的f和a。

更新速度的方程式为：

velocity += acceleration - friction*velocity*velocity

它代表下面的微分方程：

dv/dt = a - f*v^2

使用this integral table中的第一个条目，我们可以找到解决方案(假设t=0时v= 0)：

v = sqrt(a/f)*(exp(2*sqrt(a*f)*t) - 1)/(exp(2*sqrt(a*f)*t) + 1)

最大(即终端)速度出现在t >> 0时，因此指数项远大于1，并且方程接近：

v_max = sqrt(a/f)

关于达到最大速度所需的时间，请注意，方程永远不会真正达到它，而是逐渐接近它。然而，当指数的自变量等于5时，速度大约是最大速度的99%，可能足够接近到认为它相等。然后，您可以将达到最大速度的时间近似为：

t_max = 2.5/sqrt(a*f)

这也等同于：

t_max = 2.5/(f*v_max)

对于所需的vmax和tmax，tmax的第二个方程式将告诉您f应该是什么，然后您可以将其插入vmax的方程式中，以获得a的值。

这看起来有点夸张，但这些实际上是模拟拖动的一些最简单的方法！任何真正想看集成步骤的人都可以给我发一封电子邮件，我会把它们发给你的。它们有点太复杂了，不能在这里键入。

另一点：，我没有立即意识到这一点，但是如果你使用我为v(t)推导的公式，速度的更新就不再是必要的了。如果您简单地从rest建模加速，并且跟踪自加速开始以来的时间，则代码将如下所示：

position += velocity_function(timeSinceStart)

其中"velocity_function“是v(t)的两个公式之一，您将不再需要速度变量。通常，这里有一个权衡:计算v(t)可能比简单地使用迭代方案更新速度(由于指数项)的计算成本更高，但它可以保证保持稳定和有界。在某些情况下(比如试图得到一个非常短的tmax)，迭代可能会变得不稳定和崩溃，这是前向欧拉方法的常见问题。然而，保持对变量的限制(如0< f < 1)，应该可以防止这些不稳定性。

此外，如果您觉得有点受虐待，您可以集成v(t)的公式，以获得p(t)的封闭形式解，从而完全省去了牛顿迭代的需要。我将把这个留给其他人去尝试。=)

Answer 2

velocity *= friction;

这并不能阻止速度在某一点左右移动。

摩擦力随着速度的增加呈指数级增加(不要引用我的话)，在静止状态下将为0。最终，你会达到一个摩擦力=加速度的点。

所以你想要这样的东西：

velocity += (acceleration - friction);
position += velocity;
friction = a*exp(b*velocity);

b将控制达到最高速度所需的时间，而a将控制摩擦力增加的突然程度。(再说一次，不要做你自己的研究-我是从我记得的12年级物理开始的。)

Answer 3

这不是在回答你的问题，但是有一件事你不应该在这样的模拟中做，那就是依赖于固定的帧速率。计算自上次更新以来的时间，并在方程式中使用增量-T。类似于：

static double lastUpdate=0;
if (lastUpdate!=0) {
  deltaT = time() - lastUpdate;
  velocity += acceleration * deltaT;
  position += velocity * deltaT;
}
lastUpdate = time();

如果你失去焦点并停止更新，以及当你获得焦点时将lastUpdate设置为0，这也是很好的检查。这样一来，当您返回时，就不会有大量的deltaT需要处理。