如何使用CORDIC计算[-1，1]以外的数字的指数？

Question

我不能理解使用CORDIC算法计算范围[-1，1)之外的数的指数背后的数学(实际上我不确定使用CORDIC计算exp的好范围是什么，在某些地方我读到- pi/4，pi/4，在其他地方我读到[-1，1))。谁能举个例子？

我在http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371599G-01/lvfpga/ht_exponential/上读到了以下声明

"x必须在[-1，1)范围内。若要在x超出此范围时计算exp(x)，请找到整数q和实数r，其中r在[0，ln(2))范围内，使得x=q×ln(2) +r。然后可以计算2^q×exp(r)，这等同于exp(x)。由于r在[-1，1)的有效范围内，因此可以使用此函数计算exp(R)。“

但是对于我来说，如何找到q和r并没有太大的意义？

我发现的第二种方法是在http://www.xilinx.com/support/documentation/application_notes/xapp552-cordic-floating-point-operations.pdf上，它告诉我们在将数字分为整数和小数部分后，使用to公式：

cosh(int + frac) = cosh(int) * cosh(frac) + sinh(int) * sinh(frac)
sinh(int + frac) = cosh(int) * sinh(frac) + cosh(frac) * sinh(int)

cosh(int)和sinh(int)取自查找表。但这种方法的计算量更大，所以我更喜欢前一种。

Answer 1

如果为x = q × ln(2) + r，则

exp(x) = exp(q × ln(2) + r)
       = exp(ln(2))^q exp(r)
       = 2^q exp(r)

这意味着如果你能找到q和r，就很容易找到指数，你只需要位移位2 (2<<(q-1))找到exp(r)并将它们相乘即可。

要找到q和r，首先注意ln(2)=0.6931471805599453。如果您有可用的部门

q =  floor( x / ln(2) )
r = x - q * ln(2)

如果你没有除法，你可以使用循环

q = 0
while( x > ln(2) ) {
    x -= ln(2)
    ++q
}
r = x