各向同性扩散高斯混合模型期望最大化算法的改进？

Question

我的模型系统:一个各向同性扩散的粒子，在各种扩散系数之间经历随机切换(D1 <-> D2 <-> D3 <-> ...)。

由于沿该假设粒子轨迹的位移可以建模为从高斯分布中得出，因此似乎很自然地使用高斯+模型选择的混合来提取关于存在的不同“状态”或扩散系数的数量的信息，这将表现为混合物中的不同成分。

似乎有相当多的代码在GMM上执行EM，其中您的协方差矩阵是不受约束的。然而，在我的特定应用中，各向同性扩散意味着我的矩阵不仅是对角线，而且对角线的所有分量对于每个混合分量都是相等的，这意味着在x，y，z方向上的扩散速率是相同的。

在这种特殊情况下，期望和最大化步骤将如何改变，有人可以提供指导吗？

Answer 1

由于EM是迭代的，所以您可以在每次迭代后对分布进行白化。每一次迭代之后，你都会得到一个很好的各向同性高斯混合。它应该可以正常工作。

更聪明的方法是使用各向同性拟合，而不是常规的高斯拟合。这可能会变得棘手，并可能导致计算时间的大幅增加，因为您将无法使用MLE。

Answer 2

如果您想了解数学本身的信息，这篇link将在第6节中以各向同性协方差矩阵为例进行说明。公式在第7页的末尾给出。

一言以蔽之，E步骤是相同的。您可以像往常一样计算权重。在M步骤中，您也可以像往常一样计算中心，但协方差矩阵略有不同。

这是因为您需要计算对数似然中的概率密度函数。在各向同性分布的情况下，可以在导出密度函数之前对其进行简化，从而为协方差矩阵产生不同的结果。