【Matlab 六自由度机器人】关于旋转的参数化（欧拉角、姿态角、四元数）的相关问题（附MATLAB代码辅助理解）

用户9613193

发布于 2026-06-16 20:25:55

【Matlab 六自由度机器人】关于旋转的参数化的相关问题

往期回顾
前言
正文
- 一、欧拉角（Euler-angle）表示法
- - 1. 定义
  - 2. 代码解析（含实例）
- 二、姿态角（RPY）表示法
- - 1. 定义
  - 2. 代码解析（含实例）
- 三、四元数（axis/angle）表示法（未完待续）
- - 1. 定义
  - 2. 代码解析（含实例）
总结
参考文献

往期回顾

【主线】

【补充说明】

前言

在本文中，将推导三种方式来表达任意旋转，其中每种方式仅需三个独立变量：欧拉角表示法、姿态角表示法（滚动-俯仰-偏航）及四元数表示法（转轴/角度）。

以下是本篇文章正文内容，包含对欧拉角表示法、滚动-俯仰-偏航表示法及转轴/角度表示法定义的理解和相关代码的分步解析。

正文

一、欧拉角（Euler-angle）表示法

1. 定义

表示旋转矩阵的一种常用方法是使用欧拉角，其中有三个独立变量。考虑固定坐标系

o_0x_0y_0z_0

，以及旋转后的坐标系

o_1x_1y_1z_1

。我们可以使用三个欧拉角（

\phi,\theta,\psi

）来表示坐标系

o_1x_1y_1z_1

相对于坐标系

o_0x_0y_0z_0

的姿态，它们通过下列三个连续旋转得到。首先，绕当前

轴旋转角度

\phi

。然后，绕当前

轴旋转角度

\theta

。最后，绕当前

轴旋转角度

\psi

。 注意！这里的旋转均是绕旋转后的坐标系来进行旋转根据上述描述的旋转，列出以下旋转的对应矩阵。

R_{z,\phi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi& -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{matrix} \right] \\

R_{y,\theta}= \left[ \begin{matrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\

R_{z,\psi}= \left[ \begin{matrix} cos\psi& -sin\psi & 0 \\ sin\psi & cos\psi & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{matrix} \right] \\

通过上述的矩阵按右乘的顺序来进行乘积，得到旋转变换后的旋转矩阵为：

R_{ZYZ}=R_{z,\phi}R_{y,\theta}R_{z,\psi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi*cos\psi*cos\theta - sin\phi*sin\psi& - cos\psi*sin\phi - cos\phi*cos\theta*sin\psi& cos\phi*sin\theta \\ cos\phi*sin\psi + cos\psi*cos\theta*sin\phi& cos\phi*cos\psi - cos\theta*sin\phi*sin\psi& sin\phi*sin\theta \\ -cos\psi*sin\theta&sin\psi*sin\theta&cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\

方程中的矩阵

R_{ZYZ}

被称为

ZYZ

欧拉角变换。

2. 代码解析（含实例）

代码如下：

syms phi theta psi
R1 = rotz(phi)*roty(theta)*rotz(psi);

由于需要使用

trplot

函数来将旋转可视化，因此在这里设欧拉角

\phi\theta\psi

的角度均为

pi/6

。

R_0

为参考系矩阵，

R_1

以

R_0

为参考系矩阵，做

R_{z,\pi/6}R_{y,\pi/6}R_{z,\pi/6}

的旋转。

syms phi theta psi
R0 = rotz(0);
R1 = rotz(pi/6)*roty(pi/6)*rotz(pi/6);
trplot(R0,'color','r','frame','0')
hold on
trplot(R1,'color','b','frame','1')

得到结果如下：

二、姿态角（RPY）表示法

滚动（roll）-俯仰（pitch）-偏航（yaw）表示法

1. 定义

旋转矩阵

也可以被描述为按特定次序进行的一系列关于主坐标轴

x_0、y_0和z_0

轴旋转的产物。这些旋转决定了滚动（roll）、俯仰（pitch）、偏航（yaw） 角度，在这里我们将定义以下规则。

z_0

轴旋转的

\phi

角度的动作称为滚动（roll）

y_0

轴旋转的

\theta

角度的动作称为俯仰（pitch）

x_0

轴旋转的

\psi

角度的动作称为偏航（yaw））

我们指定旋转按照

x-y-z

的顺序进行，换言之，首先绕

x_0

轴旋转角度

\psi

，然后绕

y_0

轴旋转角度

\theta

。最后，绕

z_0

轴旋转角度

\phi

。 注意！这里的旋转均是绕固定坐标系

o_0x_0y_0z_0

来进行旋转根据上述描述的旋转，列出以下旋转的对应矩阵。

R_{z,\phi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi& -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0\\ 0 & 0& 1\\ \end{matrix} \right] \\

R_{y,\theta}= \left[ \begin{matrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\

R_{x,\psi}= \left[ \begin{matrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & cos\psi & -sin\psi\\ 0 & sin\psi& cos\psi\\ \end{matrix} \right] \\

通过上述的矩阵按左乘的顺序来进行乘积，得到旋转变换后的旋转矩阵为：

R=R_{z,\phi}R_{y,\theta}R_{x,\psi}= \left[ \begin{matrix} cos\phi*cos\theta& cos\phi*sin\psi*sin\theta - cos\psi*sin\phi& sin\phi*sin\psi + cos\phi*cos\psi*sin\theta \\ cos\theta*sin\phi& cos\phi*cos\psi + sin\phi*sin\psi*sin\theta& cos\psi*sin\phi*sin\theta - cos\phi*sin\psi \\ -sin\theta&cos\theta*sin\psi&cos\psi*cos\theta \\ \end{matrix} \right] \\

2. 代码解析（含实例）

代码如下：

syms phi theta psi
R2 = rotz(phi)*roty(theta)*rotx(psi);

三、四元数（axis/angle）表示法（未完待续）

转轴/角度（axis/angle）表示法

1. 定义

旋转并不总是关于主坐标轴而进行的。我们通常感兴趣的是关于空间中某任意轴线的旋转，这不仅提供了一种描述旋转的简便方法，并且提供了对于旋转矩阵的另一种参数化方法。令

k=[k_x，k_y，k_z]^{T}

表示坐标系

o_0x_0y_0z_0

内的一个单位向量，它定义了一个转轴，在此推导旋转矩阵

R_{k,\theta}

来表示关于次轴线的转角为

\theta

的旋转。

2. 代码解析（含实例）

在MATLAB中使用

quaternion

函数来实现坐标系绕任意轴线旋转。代码如下：参考Quaternion

总结

以上就是关于旋转的参数化（欧拉角、姿态角、四元数）的内容，本文详细介绍了如何理解欧拉角、姿态角、四元数，提供了代码辅助理解旋转的参数化的特性。

参考文献

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原始发表：2022-04-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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