量子场论中拓扑缺陷的高阶范畴结构

On the Higher Categorical Structure of Topological Defects in Quantum Field Theories

量子场论中拓扑缺陷的高阶范畴结构

https://arxiv.org/pdf/2505.04761

摘要 我们提出了一个统一的数学框架，用带切向结构（如定向、标架或 Pin± 结构）的拓扑缺陷量子场论，来描述由这些缺陷形成的高阶范畴结构；该框架以带结构的高阶 † 范畴（higher dagger categories）的语言表述。该框架恢复了所有已知结果，包括用 pivotal 双范畴描述二维量子场论中的定向拓扑缺陷。在假设分层配边假说的前提下，我们为在完全扩张拓扑量子场论中具有稳定切向结构且允许直和的拓扑缺陷证明了该框架的正确性。

1 引言 拓扑缺陷是量子场论中局域在时空子流形上的扩展可观测量，其值在这些子流形发生形变时保持不变。从数学上讲，它们的构型由分层流形描述。近年来，拓扑缺陷受到极大关注，因为它们可被解释为广义或高阶范畴对称性，详见近期综述 [CDIS22, Sha23, BBFT+24, FMT24]。这已在物理和数学中引发众多激动人心的应用与新进展。

传统对称性可用来构造余维 1 的拓扑缺陷，使缺陷两侧的理论相差一个对称变换。广义或范畴对称性的思想在于，即使放弃可逆性与余维 1 的限制，拓扑缺陷仍保留对称性的诸多关键特征，如反常、守恒荷、取轨形（gauging），并可用于，例如，约束重整化群流（RG-flows）。

人们普遍相信（并在低维情形已证明），量子场论中的拓扑缺陷可组装成高阶范畴 D，它编码了这些缺陷的许多物理性质；参见 [CDZR23] 的近期综述。D 的对象是量子场论；1-态射表示这些理论之间的余维 1 拓扑缺陷，其复合由“融合”给出——即把缺陷靠近的操作。类似地，2-态射对应余维 2 拓扑缺陷，依此类推，更高阶的态射表示更高余维的缺陷。实践中，确定所有拓扑缺陷的完整范畴往往过于困难，人们通常只能获得 D 的某些更简单的子范畴。这些拓扑缺陷范畴通常是线性的。在本文中我们将基本忽略这一点，因其已在 [Kap10, JF22] 等文献中详细讨论，而关注其结构中一个较少被探索的方面。

依赖于切向结构（见 [DYY25] 对整体结构的讨论），如定向或旋量结构的高阶拓扑缺陷范畴，仍是一个重要的开放问题。本文提出一个系统的数学框架来解决这一问题。不同余维的缺陷可能各自携带不同的切向结构，它们之间的相互作用也可能高度非平凡。我们采用 Ayala、Francis 与 Rozenblyum [AFR18, AFR19] 的方法，利用锥光滑分层空间的切丛来定义缺陷上的切向结构。

迄今为止，依赖于切向结构的附加结构仅在二维与三维定向缺陷上被研究过：在 [DKR11, CMS20] 中证明了，二维与三维定向理论中的定向缺陷分别由 pivotal 双范畴与带对偶的 Gray 范畴编码。

让我们更详细地解释二维情形下的结构：每个 1-态射 X : Z₁ → Z₂（即两个量子场论之间的 1 维拓扑缺陷）都有左右伴随，即存在 1-态射 ∨X : Z₂ → Z₁ 与 X∨ : Z₂ → Z₁，二者均通过反转 X 的定向得到；并配备 2-态射：

对于左伴随，以及右伴随的类似条件。 pivotal 双范畴的标志性特征是左右伴随相等，这是定向缺陷所特有的。 范畴结构与所允许缺陷类型之间存在一个有趣且富有成果的相互作用： “层”（strata）的弯曲使得我们能够在 pivotal 双范畴 [CR16] 以及三维情形下的带对偶 Gray 范畴 [BMS24] 中形成如下所示的图形，而这些图形在普通高阶范畴中是无法求值的：

另一个富有启发性的简单例子是未定向 1 维量子场论中的拓扑缺陷结构。我们可以为每个 1-态射 f : Z₁ → Z₂（对应如下形式的局域缺陷构型）

通常，这种额外的 †-结构是区分定向与未定向缺陷范畴的唯一方式。例如，对于以 Vect 为靶的拓扑场论，定向缺陷范畴等同于有限维向量空间与线性映射的范畴；而未定向缺陷范畴则对应于配备了非退化对称双线性形式的向量空间及其间的任意线性映射。作为范畴，这两者等价，因为每个有限维向量空间都存在非退化对称双线性形式。其区别在于后者配备了自然的 †-运算，即由配对给出的伴随映射。

上述两个例子中，拓扑缺陷范畴所携带的额外结构都有一个共同特征：它们都包含从范畴论角度看“不自然”的条件——要求对象或 1-态射相等而非同构：(-)† 在对象上是恒等，且左右伴随相等。我们认为，这并非缺陷，而是该构造的本质特征，任何描述缺陷的一般数学框架都应具备这一点。

在本文中，我们提出一个抽象的数学框架，系统地编码任意切向结构的依赖性，该框架应与 Kevin Walker 所构想的“H-pivotal 范畴”密切相关[Wal21]。具体地，我们定义了依赖于分层切向结构的“带结构的高阶 †-范畴”[FHJF+24] 的版本。本文引言中的所有例子都将成为这一定义的特例。

2 分层流形的切丛结构

拓扑缺陷的几何结构最好通过分层流形来编码，如文献[AFT17]中所述，其中每个胞腔（stratum）都带有一个标签，用于指明位于其上的缺陷的具体性质。在本节中，我们将依据文献[AFR18]回顾如何为分层流形配备切丛结构。

在本文中，分层流形始终指文献[AFT17]中所定义的锥光滑流形（conically smooth manifold）。粗略地说，这类流形是通过归纳方式定义的：它们是带有分层结构的拓扑空间，并配备一个（极大）开覆盖，覆盖中的每个开集形如 Rʲ × C(Y)，其中 C(Y) 是某个锥光滑分层流形 Y 的锥（cone），而 Y 的深度（depth）更低；此外，这些开集之间的坐标变换函数是光滑的。以下是一些例子：

第二个分层流形是第一个流形的锥，而最后一个则是通过忽略第二个流形的最高维胞腔得到的。

对于任意分层拓扑空间 Y，我们可以关联其 (∞, 1) 出路经范畴（exit path category）[Lur17, 附录 A.5]，其对象是 Y 中的点，其态射是允许从较低维胞腔进入较高维胞腔的路径，但不允许再返回。例如，Rⁿ 中一个余维为 1 的平面的出路经范畴，等价于“行走的跨度”（walking span）：

3 具有结构的高阶对合范畴

4 拓扑缺陷的范畴是高阶对合范畴

我们期望分层 cobordism 假设通常能推导出我们的提议，但我们未能明确验证。我们遇到的一个问题是，对于任意切触结构，分层 cobordism 假设的确切表述有些难以捉摸。

5 拓扑缺陷范畴的代数构造

许多涉及拓扑缺陷的构造预计会有纯粹的高阶代数解释。为了适当地考虑缺陷的不同切触结构，高阶达格结构将是至关重要的。我们将通过两个例子展示如何使用高阶达格范畴的概念作为一个组织原则。

5.1 凝聚、轨道空间和酉等幂元完成如引言中提到的，拓扑缺陷通常被解释为广义对称性。对这些广义对称性进行规范也被称为凝聚 [GJF19] 或广义轨道空间构造 [FFRS09, CR16, CRS19, Car25]。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2505.04761